Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

взятый в данном поперечном сечении z=const по кратчайшему пути от провода 1 к проводу 2.

Запишем второе уравнение Максвелла в интегральной форме (закон электромагнитной индукции Фарадея)

где S – поверхность, опирающаяся на замкнутый контур L.

Применим это уравнение к прямоугольному контуру abcd (рис.9.1). В данном случае

где Uz 2 и Uz1 - напряжения между нижним и верхним проводами в сечениях bc и ad соответственно. Т.е. можно записать, что

Для вывода второго телеграфного уравнения будем исходить из уравнения непрерывности (глава 1) в интегральной форме, т.е. из закона сохране-

Применим его к отрезку [z; z+dz] провода 1 (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Интеграл

141

Так как распределение электрического поля в плоскости поперечного сечения совпадает с распределением электростатического поля , то можно утверждать, что погонная плотность заряда равна q=CU, где С – погонная электростатическая емкость линии. Учитывая это соотношение, из (9.17) получаем

Уравнения (9.13) и (9.18) и образуют систему телеграфных уравнений для тока и напряжения в линии без потерь

Так как для вывода телеграфных уравнений к законам электродинамики добавляются предположения о локальном характере магнитного и электрического полей, то и телеграфные уравнения применимы лишь при достаточно низких частотах. Условие применимости телеграфных уравнений для волны, распространяющейся в бесконечно длинной однородной линии, имеет

вид k2 − Г2 b <<1 (k 2 = ω 2ε0εµ0 µ). Для идеально проводящих линий

(R=0, G=0) оно удовлетворяется автоматически, так как в таких линиях β2 = Г2 = k2. Постоянная распространения в этом случае определяется из (9.4) как

β= ω(LC )1/ 2 ,

афазовая скорость волны в линии равна

142

9.2.Расчет параметров коаксиальной

идвухпроводной линий.

Основными параметрами линии передачи без потерь, описываемой с помощью телеграфных уравнений, являются погонная емкость, погонная индуктивность и волновое сопротивление линии.

Для определения погонной емкости коаксиальной линии сопоставим электростатическое поле этой линии и поле цилиндрического конденсатора

(рис.9.3).

Вектор электрической индукции в цилиндрическом конденсаторе име-

Рис. 9.3.

что следует из теоремы Гаусса, если применить ее к цилиндру единичной длину по оси z.

Учитывая, что вектор электрической индукции D связан с вектором напряженности электрического поля E в линейной изотропной среде как

D= ε0εE

ивычисляя напряжение между внутренним проводником 1 и внешним проводником 2, имеем

( a – радиус внутреннего провода, b – радиус экрана коаксиальной линии). Тогда погонная емкость коаксиальной линии

143

Аналогично можно найти и погонную индуктивность. Пусть по проводнику 1 течет постоянный ток I, а по проводнику 2 течет ток – I. В этом случае магнитное поле будет отлично от нуля только в области a<r<b, так как при r>b магнитные поля проводников1 и 2 будут взаимно уничтожаться. Магнитное поле данной системы будет иметь только одну составляющую

что вытекает из закона Ампера.

Вектор магнитной индукции B связан с вектором напряженности магнитного поля H через материальное уравнение

B = µ0 µH ,

следовательно, можно записать, что

Вычисляя погонный магнитный поток ФМ по формуле (9.9), получаем

а погонная индуктивность, соответственно, будет равна

Волновое сопротивление линии передачи без потерь определяется как

что позволяет с помощью (9.22) и (9.26) окончательно записать выражение

144

из которого видно, что при отсутствии потерь в проводах волны в линии распространяются со скоростью света с. Этот результат был получен с помощью телеграфных уравнений исторически раньше, чем была создана теория электромагнитных волн в свободном пространстве.

Рассчитаем погонную емкость двухпроводной линии, состоящей из двух параллельных проводов радиуса а, центры которых расположены на расстоянии b друг от друга (рис. 9.4). Рассмотрим эту линию приближенно при условии a/b<<1, т.е. когда радиус проводов значительно меньше расстояния между ними.

Обозначим через q погонный заряд провода 1 и через – q погонный за-

Рис. 9.4.

ряд провода 2 и вычислим электрическое поле каждого провода в отдельности. Электрическая индукция в каждой точке, лежащей на прямой, соединяющей центры проводников, будет равна сумме индукций, создаваемых каждым из проводников:

a

или согласно формуле (9.30) и материальному уравнению, связывающему D и Е,

,

(9.32)

причем в последнем выражении в силу условия a<<b вместо (b-a) можно написать b. Следовательно, погонная емкость двухпроводной линии

При выводе формулы (9.33) распределение заряда на поверхности каждого провода считалось симметричным. Это значит, что не учитывался так называемый эффект близости, состоящий в неравномерном распределении

145

мо малую часть мощности набегающей волны. Это объясняется тем, что дипольный момент отрезка dz1 провода 1 отличается от дипольного момента соответствующего отрезка dz2 на проводе 2 лишь знаком, а волны, создаваемые этими диполями, в любой дальней точке пространства имеют при условии kb<<1 малую дополнительную разность фаз и практически полностью гасят друг друга.

Если же условие kb<<1 не выполняется, то линия интенсивно излучает электромагнитные волны в окружающее пространство, причем это излучение никак не учитывается телеграфными уравнениями. На практике при невыполнении условия kb<<1 двухпроводная линия становится не пригодной для передачи электромагнитной энергии, так как любая неоднородность приводит к большим потерям энергии на излучение

9.3. Трансформирующие свойства отрезков линий передачи.

Отрезок линии, нагруженный на одном конце на некоторое сопротив-

Рис. 9.6.

ление (рис.9.6), обладает трансформирующими свойствами, поскольку его входное сопротивление отличается от сопротивления нагрузки. Установим зависимость между этими сопротивлениями.

Для начала перепишем равенство (9.5), полагая, что сопротивление нагрузки ZH не равно ZВ:

где Г = β − jα .

Полный ток в каждом сечении линии (рис. 9.6.) равен сумме токов, которые создаются падающей волной Iпад, распространяющейся в направлении от сечения z=0 к нагрузке, и волной Iотр ,отраженной от нагрузки:

В сечении Z = l отношение величин U H = U (l)и I H = I (l) из (9.37) и (9.38) равно сопротивлению нагрузки

147

Отсюда можно выразить отношение коэффициентов В и А, которое понадобится в дальнейшем

Теперь рассмотрим ток и напряжение в сечении z=0. Полагая z=0, запишем отношение выражений (9.37) и (9.38):

Здесь Zвх – входное сопротивление отрезка линии (рис. 9.5). Подставляя (9.40) в (9.41), получаем

Применив известные соотношения для гиперболических функций, получим

Выражение (9.43) и устанавливает искомую связь между сопротивлением нагрузки на конце линии длиной l и входным сопротивлением последней.

Из (9.43) следует, что при равенстве сопротивлений нагрузки и волнового сопротивления линии (ZH=ZВ) входное сопротивление Zвх линии совпадает с волновым, т.е. Zвх= ZВ. В этом случае исчезает волна, отраженная от нагрузки, и говорят, что линия идеально согласована.

Запишем формулу (9.43) для входного сопротивления отрезка линии без потерь (Г = β; α = 0)

и установим свойства отрезков линий передачи, длины которых кратные половине или четверти длины волны в этой линии на определенной частоте.

При βl = π или βl = nπ, где n – целое число, tgπ = tg(nπ)= 0 . Подставляя это значение тангенса в (9.44), получаем

148

Значению βl = π соответствует l = λВ / 2, так как β = 2π / λВ . Следовательно, входное сопротивление полуволнового отрезка линии передачи без потерь равно величине сопротивления, подключенного к его концу.

Еще одно важно свойство полуволновых трансформаторов – дополнительный фазовый сдвиг 1800, вносимый трансформатором.

Интересный результат следует из (9.44) при βl = π/2. Если подставить βl, равное π/ 2 или nπ/ 2, где n – нечетное целое число, то можно в (9.44) пренебречь слагаемым ZH/ZВ, так как функция tg(βl) стремится к бесконечности. Поэтому из (9.44) следует Zвх/ZВ=ZВ/ZH, откуда

Согласно этому равенству два разных сопротивления (Zвх и ZH) можно согласовать, если между ними включить четвертьволновой отрезок линии или отрезок с длиной, составляющей нечетное число четвертей длины волны с волновым сопротивлением ZB, равным среднему геометрическому из согласуемых сопротивлений.

9.4. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце отрезки линии передачи (шлейфы).

Отрезку линии, разомкнутому на конце, соответствует нагрузка с бесконечно большим сопротивлением (ZH = ∞), а короткозамкнутому отрезку линии – нагрузка с нулевым сопротивлением (Z H = 0). Входное сопротивление линии при коротком замыкании (Zвх.кз) определяется из равенства (9.44),

Из выражений (9.47) и (9.48) следует, что входное сопротивление короткозамкнутого или разомкнутого на конце отрезка линии зависит от его длины l и носит либо емкостной, либо индуктивный характер. В литературе такие отрезки линии получили название шлейфов. Зависимость входного со-

149

Рис. 9.7.

противления шлейфа от длины волны, рассчитанная по (9.47) и (9.48) при 0 ≤ l ≤ λ / 4 представлена на рис. 9.7.

В идеально разомкнутой либо короткозамкнутой линии вся энергия падающей волны отражается от конца линии и возвращается к ее входу.

Перемножая выражения (9.47) и (9.48), находим

На этом равенстве основан простой метод определения волнового сопротивления линии передачи: сначала измеряется входное сопротивление линии в режиме короткого замыкания, а затем в режиме холостого хода.

На рис. 9.8 представлена зависимость входного сопротивления корот-

Рис. 9.8.

козамкнутого отрезка линии передачи без потерь от частоты при фиксированной длине отрезка. (Zвх = jZВtg(2π fl /υф))

На низких частотах входное сопротивление носит чисто индуктивный характер. Бесконечно большое реактивное сопротивление при f=νΦ /(4l), где

длина отрезка равна четверти длины волны в линии, сходно с сопротивлением параллельного резонансного контура на частоте резонанса. При дальнейшем увеличении частоты входное сопротивление становится чисто емкост-

150