Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

Систему функций {Φmβ }будем использовать для разложения искомого

поля ϕ. Фактическое построение Φmβ , в частности вычисления Rnm(α) для мно-

гих практически интересных задач можно выполнить аналитически (при помощи метода Винера-Хопфа, переходом к задаче Римана и т.д.). в более сложных случаях для этой цели можно применить численно-аналитические методы.

Для первой задачи искомое поле в канале с номером α обозначим символом ϕα и представим разложением по функциям (10.32):

Для второй задачи разложения (10.33) модифицируется следующим образом:

∞N

ϕ= Φ0 + ∑ ∑Cm(β )Φmβ .

m=1 β =1

где Φ0 - частное решение уравнения (3.1), удовлетворяющее граничному условию (10.31) на поверхности S0.

Вычисление неизвестных коэффициентов Cm(β) производится при помощи граничных условий на поверхностях Sα. Будем использовать для этого метод моментов (для определенности рассмотрим его на примере задачи (1), заключающийся в переходе от условий (10.30) при zα=lα к цепочке соотношений ортогональности

ские числа p отыскиваются из условий существования нетривиального решения системы (10.35).

Справедливо утверждение (теорема эквивалентности), что собственные значения задачи 1 и характеристические числа системы (10.35) совпадают, а собственные функции задачи 1 и нетривиальные решения системы (10.35)

связаны соотношением (10.33).

Следует отметить, что как изложенная выше схема решения, так и теорема эквивалентности остаются в силе и для других типов граничных условий: Неймана, 3-го рода и т.д. Однако в последнем случае, если коэффициент в граничном условии комплексный, рассматриваемая краевая задача стано-

171

вится несамосопряженной. Это может потребовать добавления в (10.33) присоединенных волн. Аналогичные схемы можно построить и в случае краевых задач для системы уравнений Максвелла.

Для обоснования различных вычислительных схем на основе функций (10.32) существенны вопросы о полноте и линейной независимости таких функциональных систем. Рассмотрим эти свойства.

Пусть все lα таковы, что некоторое действительное число p не является собственным значением задачи 1 в области V. Тогда система функций {Φmβ (p)}линейно независима на S' и полна в L2(S').

Свойство полноты будет доказано, если из условий

вытекает ϕ=0 на S'. Подставим в (10.36) разложение (10.33) и получим, что набор равенств (10.36) эквивалентен системе линейных алгебраических уравнений (символ” ” означает комплексное сопряжение).

α =1n=1

относительно

dn(α) = ∫ϕϕn(α)dS

Sα

Видно, что в условиях сделанного утверждения система (10.37) имеет только тривиальное решение: все dn(α)=0. При этом следует учесть, что матрицы систем (10.37) и (10.35) являются эрмитово-сопряженными, а область V

нерезонансна. Но из равенства dn(α)=0 следует ϕ=0 на S', т.к. системы {ϕn(α)}, n=1, 2, ... , для каждого α полны в соответствующих пространствах L2(Sα).

Для доказательства линейной независимости приравняем к нулю некоторое разложение по функциям Φmβ на S':

β =1m=1

Далее прейдем от (10.38) к эквивалентной цепочке соотношений ортогональ-

~

ности вида (10.34). Тогда для Cm(β ) получим вновь систему (10.35), которая,

как показано выше, имеет лишь тривиальное решение.

Аналогично можно рассмотреть также уравнение (10.29) со смешанными граничными условиями на S (условие Дирихле на S0, условие Неймана на S'). В предложении, что p не является собственным значением данной

независима и полна в L2(S').

172

10.6.2 Расчет физических параметров полосковых линий передачи

Конфигурация рассматриваемой модели линии передачи показана на рис. 10.12а. Она является достаточно общей и позволяет исследовать ряд типов линий, широко применяемых в технике.

В квази -Т- приближении задача сводится к вычислению потенциала ϕ (x, y),

Наибольший прикладной интерес представляет погонная емкость линии, определяемая соотношением

174

строим семейство решений краевых задач для уравнения Лапласа Um(X, Z), m=1, 2,... , при граничных условиях

C(pm) получить из граничных условий (10.41) системы парных сумматорных уравнений вида

175

Кроме того, введем семейство функций Vm(X, Z) удовлетворяющих уравнению Лапласа, граничным условиям (10.41), но с условиями на бесконечности вида

p =0

а коэффициенты B(pm) вычисляются аналогично и даются выражением

B(pm) =ε C(pm) −δmp (1 −ε). Функции (10.42) и (10.44) будут использованы для

разложения искомого потенциала ϕ . В соответствии с полученными в п. 10.6.1 результатами, они обладают требуемыми свойствами полноты.

Для построения алгоритма решения разобьем исследуемую область на две частичные подобласти:

m=0

+ βm(2)Vm(2)(a − x,−(z + ∆1 + ∆2 ))];

176

αm(j ), βm(j ) - неизвестные коэффициенты; Um(j ), Vm(j ) - функции (10.42), (10.44)

при d=d1, ε=ε1 для j=1 и d=d2, ε=ε2 для j=2; V(X, Z) - решение уравнения Лапласа, убывающее при z → ± ∞, удовлетворяющее условию

Для нахождения коэффициентов αm(1), βm(1) следует наложить условия

непрерывности ϕ и z-компоненты D при z= –∆1, а также граничные условия для ϕ при z=b1, z= –b2. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений вида

ξmn11 =δmn + Cn(m) e−2γ nb1 ,

ξmn12 = (δmn + Bn(m) )e−2γ nb1 ,

ξmn31 = (δmn + Cn(m) )e−2γ n ∆1 ,

ξmn32 = δmn + Bn(m) e−2γ n ∆1 ,

ξ33 = −δ + C(nm) e−γ n (∆1 +∆2 ),

mn mn

177

Cn(m), Bn(m) означают их принадлежность, соответственно, первой и второй

частичным областям). Коэффициенты ν1,2 в правой части (10.46) даются равенствами

ν1=–An e–2γnb1, ν2=–An e–2γn∆1,

Система (10.46) является Фредгольмовой, что следует из асимптотических оценок Cn(m), Bn(m), An. Для нее строго обоснован метод редукции.

В качестве простейшего примера рассмотрим экранированную микрополосковую линию (рис. 10.13а).

Предельный переход к экранированной микрополосковой линии от более общей конфигурации 10.12а можно выполнить различными способами,

например: ε1→ ε2, d2→ a, либо ε1→ ε2, ∆1+∆2→ b2, либо ∆2→ 0, d2→ a (рис. 10.13б, в, г).

На рис.10.14 приведены результаты расчета погонной емкости микро-

Рис. 10.13.

полосковой линии методом неортогональных рядов (эти результаты нанесены кружками). Для сравнения взяты данные (сплошные линии), полученные методом полуобращения с использованием задачи Римана-Гильберта. На рисунке:

178

В табл. 10.1 приведены примеры характеристик полосковых линий, часто применяемых на практике

179

180