Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

Электромагнитные поля и волны

Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

.pdf

Скачиваний:

342

Добавлен:

02.05.2014

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

x = a u − b, y = q v − h	(обратное),	(8.74)
где a(z) = (Dxp (z) − Dxm (z)) / 2,	b = (Dxp (z) + Dxm (z)) / 2,

q(z) = (Dyp (z) − Dym (z)) / 2α, h = (Dyp (z) + Dym (z)) / 2, α = Dyo / Dxo.

При таком преобразовании в новых переменных внутренняя граничная поверхность волновода регулярна (Рис.8.2, в):

u = ±1	(S '	)	и ν = ±α	(S '	).
	1			2

Учитывая обратное преобразование (8.74), для радиуса-вектора точки во внутренней области в новой системе координат u,v, z имеем

rr(u, v, z) = zr z + xr

(au + b)

+ yr

(qv + h).

Обозначим далее a

= da

, b

= db ,

= dq

= dh .

Определим основную систему векторов косоугольной координатной

системы u,v, z :

∂rr

∂u = a x0 ,

∂v = q y0

∂rr

∂z = z0

+ (uaz + bz )x0

+ (vqz + hz )y0 .

Взаимная система векторов ar1, ar2 , ar3 находится следующим образом:

ar1 = ar2 V×a3 , ar2 = ar3V×a1 , ar3 = a1 V×a2 ,

V = a1(a2 ×a3 )= a2 (a3 ×a1 )= a3 (a1 ×a2 )= aq .

Производя указанные действия, имеем

ar1 = a1 (xr0 − zr0 (uaz + bz )),

ar2 = q1 (yr0 − zr0 (vqz + hz )),

111

ar3 = zr .

Найдем теперь элементы метрического тензора

g11 = ar1 ar1 = a−2 (1 + (uaz + bz )2 ),

g22 = ar2 ar2 = q−2 (1 + (vqz + hz )2 ),

g33 =1,

g12 = ar1 ar2 = (ua

+ b

) (vq

+ h ) = g21

g13 = ar1 ar3 = −a−1 (ua

+ b

) = g31 ,

g23 = ar2 ar3 = −q−1 (vq

+ h

Представим вектора электромагнитного поля и тока в виде (на примере

H ):

xr + H

yr + H

= H

ar1 + H

ar2

+ H

ar3 ,

H = H

x 0

y 0

где Hu , Hv , Hζ

- ковариантные проекции H , которые связаны с исходны-

ми следующим образом:

= Hu / a, H y = Hv / q,

= Hζ

− azu + bz Hu −

qzv + hz

Hv .

(8.75)

Запишем теперь уравнения Максвелла в новой системе координат

1 ∂Hζ

∂H

∂Hζ

∂H

v −

∂H

−

∂v

∂z

∂u

∂v

∂E

∂Eζ

=ε0

u a

+δua

+δva

+δζ a

∂t

1 ∂Eζ

∂E

∂Eζ r

∂E

−

∂v

∂z

∂u

∂v

(8.76)

(8.77)

112

∂H

∂Hζ

м r1

м r2

м r3

−µ0

−δu a

−δv a

−δζ a

∂t

Используя далее свойство ортогональности основной и взаимной системы векторов ari ari = δij и умножая скалярно уравнения (8.76), (8.77) на ar1, ar2 , ar3 , получаем контравариантные проекции уравнений в форме

ε0 gˆ

∂E1

rotH

+ gˆδ

∂tr

(8.78)

= −µ0 gˆ

∂H

r1м

rotE

∂t

− gˆδ

Здесь gˆ

=Vg,

(анало-

g = (gij ), r

= ux0

+ vy0

+ zz0

H 1

= Hu x0

+ Hv y0

+ Hζ z0

1m ).

гично E1

,δ 1,δ

Граничные условия (1) теперь принимают вид:

v=±α

= 0, E1

u=±1

=0 .

(8.79)

u, z

v, z

Проекционные соотношения для амплитуд связанных волн нерегуляр-

ного волновода. Прежде чем переходить к решению задачи (8.78), (8.79), целесообразно для улучшения его сходимости выделить в (8.78) электростати-

ческую часть поля источников, содержащую разрыв первой производной E1 ,

и магнитостатическую, содержащую разрыв H 1 . При этом динамическая задача имеет вид

=ε0 gˆ ∂E1

rotH1

+ gˆδ1

∂rt

(8.80)

rotE

= −µ

gˆ ∂H1

− gˆδ

м,

∂t

E1 u, z

v=±α =0,

E1 v, z

u=±1 =0 .

(8.81)

1 −ε0 grad

(∂Фe

∂t ),

Здесь δ1 =δ

= E1 + grad Фe ,

1м − µ0 grad (∂Фм

∂t ),

м ,

δ1м =δ

= H 1 + grad Ф

Фe, Фм – соответственно электрический и магнитный потенциалы источников.

113

Существенно, что Еr1 , Н1 - непрерывные на границе источников векторы и операция почленного дифференцирования представляющих их в решении рядов (rotE1,rotHr1 ) допустима, поскольку эти ряды сходятся равномер-

но.

Остановимся на решении задачи (8.80), (8.81), полагая режим установившимся (периодическим). Представим искомое решение в системе u,v, z в

виде разложения по собственным функциям регулярного волновода следующим образом:

E1 = Re∑(E&ts

+ E&ζ s )e jsωt , H1 = Re∑(H&ts + H&ζ s )e jsωt ,

M N

K L

rм

Ets = ∑∑Asmn (z)emn +

∑∑Askl(z)ekl

m=1 n=1

k=0 l=0

zr0 ,

E&ζ s

= ∑∑C&smn (z)ψmne

m=1 n=1

H&ts

= ∑∑B&smne (z)hmne

+ ∑∑B&skмl(z)hkмl

m=1 n=1

k=0 l=0

м r

Hζ s

= ∑∑Dskl(z)ψklz0 .

k=0 l=0

Здесь ψmne

= sin

mπ (u +1)

sin

nπ (v +1)

ψkмl

= cos

kπ (u +1)

cos

lπ (v +1)

2α

mπ

(

u +1

)

nπ

(

v +α

)

mπ

(

u +1

nπ

(

v +α

)

= ψe

= m

cos

sin

)

cos

2α

lπ

kπ

(

u +1

lπ

(

v +α

)

kπ

(

u +1

)

lπ

(

v +α

)

e м

= × z

ψe =

cos

)

sin

− k

sin

cos

2α

mπ u +1

nπ v +α

mπ u +1

nπ v +α

(

)

(

)

− m

(

)

(

)

= × z

ψ м

sin

cos

sin

2α

0 mn

hrм

= − ψ

м = kπ sin

kπ (u +1)

cos

lπ (v +α)

lπ

cos

kπ (u +1)

sin

lπ (v +α )

2α

114

Применяя к решению (8.80), (8.81) проекционную процедуру, получим следующую систему проекционных соотношений для определения амплитуд:

∫

{rot (H&ts + H&

ζ s )− jsωε0 gˆ (E&ts + E&ζ s )}erpre dvdu =

(8.82)

−1 −α

2π 1 α

r re

− jsωt

∫ ∫

∫

gˆδ e

dvdudωt ,

∫

−1 −α

)

}

∫{

(

rot

− jsωε

gˆ

(

erм dvdu =

(8.83)

+ H&

+ E

−1

−α

ζ s

ζ s )

2π 1

r rм − jsωt

∫

gˆδ e

dvdudωt ,

−1

−α

∫

{rot (H&ts

+ H&ζ s )− jsωε0 gˆ (Ets

+ E&ζ s )}ψ epr zr0dvdu =

(8.84)

−1

−α

2π 1

e − jsωt

∫

gˆδ z

dvdudωt ,

−1

−α

∫

{gˆ −1rot (E&ts

+ E&ζ s )

+ jsωµ0 (H&ts + H&

ζ s )}hpre dvdu =

(8.85)

−1

−α

2π 1

rм re − jsωt

= −

∫

δ1

hpre

dvdudωt ,

−1

−α

∫

{gˆ −1rot (E&ts

+ E&ζ s )

+ jsωµ0 (H&ts + H&

ζ s )}hprмdvdu =

(8.86)

−1

−α

2π 1

rм rм − jsωt

= −

∫

δ1

hpre

dvdudωt ,

−1

−α

−1

∫

{gˆ −1rot (E&ts

+ E&ζ s )

+ jsωµ0

H&ts}ψ prм zr0dvdu =

(8.87)

−1

−α

2π 1

rм м r − jsωt

= −

∫

δ1

ψ pr zoe

dvdudωt .

−1

−α

Уравнения (8.82) – (8.83) образуют полную систему ОДУ первого порядка, определяющую комплексные амплитуды связанных волн

115

A&smne , A&skмl, B&smne , B&skмl,C&smn , D&skl , т.е. они представляют собой систему уравнений возбуждения динамических полей нерегулярного волновода с прямоугольным сечением, возбуждаемых негармоническими электрическими и магнитными токами источников. Полученные уравнения возбуждения, строго говоря, справедливы только в случае, когда граничные поверхности нерегулярного волновода не имеют изломов, т.е. az , bz , qz , hz не имеют разрывов. Прак-

тически, однако, они могут использоваться и в этом случае, если при численном интегрировании обходить точку разрыва производной путем выбора шага интегрирования таким образом, чтобы она находилась в центре интервала интегрирования.

Самосогласованные уравнения возбуждения продольно-нерегулярного волновода электронным потоком. Взаимодействие электронного потока с возбуждаемым в волноводе электромагнитным полем будем описывать системой безразмерных уравнений Максвелла для комплексных амплитуд s- гармоники рабочей частоты

r	r	r	;	r	r	rr	= 0;	(8.88)

rotB&s = jsWE&s +δ&s				rotE&s = − jsWB&s ;		[nE]
							S

и уравнений движения крупных частиц, имитирующих движение электронов

пучка

dγi βi

] + S

;

(8.89)

= −{(E

+[β

B])

+[β

drr

βr

dθ

;

γi =1/ 1− βi

βzi

(rr i

, zi )e jsθi )

E = Re(∑E&s (rr i , zi )e jsθi )

B = Re(∑B&s

(0)

= 2π(i −1) / Ne;

i =1...Ne .

= β0 ;

(0) = r 0

Здесь и далее приняты следующие безразмерные переменные (штрихом будем обозначать размерные величины, имеющие одинаковое написание с безразмерными):

′ ′ ′ ′ ′	′ ′ ′	′	ω0		, W =	ω	, θi =ωti ; ω –
x, y, z,u,v,a,b,q,h = (x , y , z ,u ,v ,a ,b ,q ,h )				c
	βi = vri						ω0
рабочая частота, ω0 – базовая,		/ c ,	vi –		скорость крупных частиц, с -

скорость света,

116

r &e &м &

′

& e

′

r &e &м

′

(E, A , A ,C )

′

) Em ,

(B, B , B , D)= (H , B

, B

= (E , A , A ,C

, D )cµ0 Em

2π

2eI0

∫ J (z,ωt)e

− jsωt

dωt, J

(z,t) - плотность тока в ЭП;

G0 =

δs =

;

ε ω

ε m c3

Em = m0ω0 c e,

m0 ,e -

0 0

ток

пучка,

масса и

заряд электрона,

- индукция магнитостатического поля, Sq Erqi

= eB0 / m0ω0

, B0

- силовая со-

ставляющая поля пространственного заряда, расчет которой в каждом конкретном случае определяется выбором формы крупных частиц, конфигурацией электронного потока и области взаимодействия.

Используя проекционные соотношения (8.82-8.87) для уравнений (8.88), а также закон сохранения заряда для связи плотности тока электронного пучка с электронными траекториями, описываемыми уравнениями (8.89), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для безразмерных амплитуд возбуждаемых мод в нерегулярном волноводе:

1cs

Cspr ≡ jBspr

χpr

/ (sWaq)

∑Asmr m

Imp

1cs

+ ∑ Aspn n

Inr

∑ Askr

Ikp

−

α q

1cs

−p∑Aspl α

Ilr

+ I pr ;

p = 1..M ; r = 1..N; .

pπ

(u +1)

rπ

(v +α)

− θ

I&Cpr

= −

∑sin

sin

i ;

sWaqα

2α

Ne i=1

eм

dAspr

;

= 1..M ; r = 1..N;

αχpr

f pr

+γ pr

f pr

χpr

eм

dAspr

;

= 0..K; r = 0..L;

γ pr f pr

+αχpr

f pr

χpr

−

rπ

1cs

f pr

= jsWBspr

χpsα + Cprαχpr

∑Askr χkr

Ikp

pπ

1cs

α∑Aspl

χpl

αIlr

Ilr

;

p = 1..M ; r = 1..N;

&м

= − jsWB

α −C

spr

α pπ

1cs

rπ

∑Askr χkr

Ikp

∑Aplχpl

αIlr

Ilr ;

(8.90)

(8.91)

(8.92)

p=0..K;

117

r=0..L;

pπ 2

rπ

2 ;

χeм

= χe

α2 −γ e

γ м ;

2α

prπ

− q

если Epr

присутствует

pπ 2

a rπ 2

γ pr =

;

χpr

;

2α

0 если Epr отсутствует

prπ

− q

если H pr присутствует

pπ 2

q rπ 2

γ pr =

;

χpr

;

2α

0 если H pr

отсутствует

&м

)/ aq +

(8.93)

Dspr = − j

(sW ){Aspr

χpr

+ bz

+ hz

2cc

2azbz

1cc

az 1sc

+ ∑

2 az

dAskr

Askr χkr

Ikp

−

Ikp

2cc

2q h

1cc

1sc

π dAspl

Ilr

Ilr −

Ilr +

Ilr

−

+ ∑ Asklχplα

aα

rπ

1sc

∑

−

C&smr −

smr

z Imp +

Imp

2α

pπ

1sc

∑

dAspn

spn

−

;

= 0..K; r = 0..L;

jsW π

dBspr

(1 + bz )p

(1 + hz

)

Aspr

(8.94)

pr q

1cc

2cc

(

1 + bz )−

(

) +

(2azbz Imp

Aspr

1 + hz

∑Asmr mp

+ az Imp

pr q

1cc

2cc

2qzhz

1cc

2cc

+ ∑Askr

(2azbz Ikp

+ az Ikp

)+ ∑Aspnrn

Inr

+ qz Inr

−

α a

1cc

2cc

1sc

− ∑Aspl pr

(2qzhz Ilr

+ qzαIlr

)

−

∑Csmr pq(bz Imp + az Imp

)−

1sc

−

∑Cspn

a(hz Inr

+αqz Inr

)+ ∑Asmnγmn + ∑Asklγkl

+ I pr

;

118

cs sc

sc cs

1sc

1cs

γmn = bzhz

Imp Inr

+ bzqz (mrImp Inr

+ npImp Inr

1cs

1sc

1cs

1sc

1cs

);

+ azhz

Imp

Inr

Imp

Inr

+ azqz (mrImp

Inr

+ npImp

Inr

γ 2

= b h

I cs I sc

− kpI sc I cs

+ b q

I cs I1sc

− kpαI sc I 1cs +

z z

kp lr

+ a h

I 1cs I sc − kpI1sc I cs

+ a

1cs I

1sc

− kpαI

1sc I 1cs

;

z z

kp lr

G 1

pπ

pπ (ui +1)

rπ

(vi

+α )

I&pr

= −

∑

−uiaz

−bz

cos

sin

βzi

2α

χprα Ne i=1

pπ

(

u +1

)

rπ

(

v +α

)

− viqz

− hz

sin

cos

e− jsθi

;

βzi

2α

p =1..M ; r =1..N;

&м

jsW π

dBspr

(1 + bz

)−

) +

= −Dspr −

Aspr

+ hz

(8.95)

χpr

q mr

1cc

2cc

+ Aspr

(

+ bz

)

(1 + hz )p + ∑Aspr

(Imp 2azbz + Imp az )+

1cc

2cc

1cc

2cc

+ ∑Askr

(Ikp

2azbz + Ikp

)− ∑Aspnnp

(Inr

2qzhz + Inr αqz

&м

1cc

2cc

1sc

+ ∑Aspl p

(Ilr

2qzhz + Ils

αqz

)−

∑Csmr

(Impbz + Imp az )+

∑C&spnap(Inrschz + Inr1scαqz )− ∑Asmne γmn3

− ∑Askмlγk4l

+ I&prBм;

γ 3

= b h

mpI cs

I sc

−

I sc

I cs

+ a

mpI

1cs I sc

−

1sc I cs

α2

+αq

mpI cs I

1sc

−

I sc

1cs

αa

mpI

1cs I

1sc −

I 1sc I 1cs

;

α2

γk4l

= bzhz (lpIkpcs Ilscr

+ krIkpsc Ilcsr )

azhz

(lpIkp1cs Ilscr + krIkp1sc Ilcsr )+

+ qzbz (lpIkpcs Il1scr

+ krIkpsc Il1csr )+ azqz (lpIkp1cs Ilscr

+ krIkp1sc Ilcsr );

119

Bм

G 1

rπ

pπ (ui +1)

rπ (vi +α )

I&pr

∑

−uiaz −bz

cos

sin

−

βzi

2α

χprα Ne i=1

	1	βyi		pπ			pπ (ui +1)		rπ (vi +α )		− jsθi
−				− viqz − hz		sin		cos		e
	q		βzi		2		2		2α

p =0..K; r =0..L ;

здесь ui ,vi ,βxi ,βyi ,βzi - координаты и скорости частиц в сечении z,

iπ (x

+1)

jπ (x +1)

Iijcs = ∫cos

sin

dx;

Iijsc = I csji ;

−1

iπ (x +1)

jπ (x +1)

Iij1cs

= ∫ xcos

sin

dx;

Iij1sc = I 1csji ;

−1

iπ (x

+1)

jπ (x +1)

Iij2cs

= ∫ x2 cos

sin

dx; Iij2sc = I 2csji ;

−1

аналогично обозначаются интегралы Iij1cc , Iij2cc , Iij1ss , Iij2ss .

При учете связи (8.75) ковариантных проекций векторов электромагнитного поля с физическими, уравнения (8.89)-(8.95) представляют самосогласованную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы возбуждения электромагнитных полей в нерегулярном волноводе прямоугольного сечения.

При задании граничных условий для уравнений (8.90)-(8.95) используем тот факт, что на регулярных участках волновода волновое поле представляет собой сумму прямой и обратной волн вида:

∑ e&mne+

+ e&mne−

e− jK zmn (E&

+B&+ )mn

e+ jK zmn (E&

−B&

− )mn

(8.96)

)

м+

− jKzkl

r&+ r&

м−

+ jKzkl

r&− r&

−

+∑ ekl

(E B

+ ekl

(E B

&e±

&м±

- постоянные амплитуды,

r&± r&

e, м

- собственные функции Eij

где emn , ekl

(E B

)

и Hij

регулярного волновода, Kzij =

W 2 − Ktij2

- продольное волновое число,

iπ

jπ

- поперечное волновое число.

D − D

− D

tij

Используя соотношения (8.75) а также предполагая, что при z ≤ 0 волновод регулярный, запишем начальные условия для амплитуд:

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3412 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны

#
02.05.201431 Кб30Вопросы по ЭМПиВ.doc
#
02.05.20145 Мб342Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн.pdf
#
02.05.2014820 Кб94Курсовая работа по эктродинамике.doc
#
02.05.2014652 Кб78Курсовая работа по эктродинамике1.doc
#
02.05.20143 Мб94Курсовая работа по эктродинамике2.doc
#
02.05.2014659 Кб63Курсовая работа по эктродинамике3.doc
#
02.05.2014579 Кб73Курсовая работа по эктродинамике4.doc