Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

Формулы (10.9) и (10.10) справедливы для бесконечно тонкого проводника, а эффективная диэлектрическая проницаемость, входящая в них, определяется так:

Для проектирования устройств СВЧ желательно иметь зависимости геометрических размеров от волнового сопротивления ZВ и диэлектрической проницаемости ε подложки. Это не трудно сделать, пользуясь формулами (10.9) – (10.11) и записав их в виде

где значение ε%эфф аппроксимируется выражением

Формулы (10.12 – 10.13) дают максимальную погрешность 4% при значениях ZВ [5; 250] Ом и ε<16. Для значений ZВ ε <800 Ом погрешность

не превышает 2%. Если же проведенную процедуру повторить еще раз, произведя при этом замену ε%эфф на εэфф , то погрешность уменьшается до 0,5%.

При конструировании СВЧ схем часто оказывается, что характеристики физической цепи значительно отличаются от теоретических данных. Это объясняется наличием таких факторов, как конечная толщина проводников, тепловые потери и т.д. Поэтому следует учитывать влияние этих факторов.

Влияние толщины полоски можно учесть, введя в (10.9) и (10.10) вместо физической ширины W полоски ее эффективную ширину Wэфф:

161

где T=t/d, t – толщина полоски.

Формулы (10.14) получены для подложек с диэлектрической прони-

цаемостью ε ≤128 и размеров проводника НПЛ Wd [0,01;100].

На частотах до 10 ГГц дисперсия эффективной диэлектрической проницаемости в микрополосковой линии обычно настолько мала, что ею можно пренебречь. Пример расчета дисперсионных характеристик НПЛ с широким проводником и экраном, расположенным над плоскостью проводника на расстоянии 5d, приведен на рис. 10.5. На рисунке представлены дисперсионные кривые для различного типа гибридных волн и приведена область собственных значений, соответствующих полю излучения.

Рис. 10.5.

На основании результатов, приведенных на рис. 10.5, можно сделать следующие выводы. Для основного типа волны собственное значение продольного волнового числа существует, начиная с нулевой частоты. Для каждой волны высшего типа есть своя нижняя частота среза, отличная от нуля, которая возрастает с увеличением порядка волны. На частотах, лежащих ниже частоты среза для данного типа волны, последняя в НПЛ не распространяется, поскольку возбуждающаяся в линии энергия, соответствующая данному типу волны, не распространяется вдоль линии, а излучается в пространство. На частотах, больших частоты среза, волны высших типов распространяются в НПЛ с фазовыми скоростями большими, чем фазовые скорости всех волн более низкого типа на данной частоте. С ростом частоты фазовая скорость имеет нижний предел, численная величина которого равна фазовой скорости в диэлектрике подложки.

Волновое сопротивление микрополосковых линий, изготавливаемых промышленностью, обычно не выше 125 Ом и не ниже 20 Ом. Снизу значения Zb ограничиваются потерями на излучение и преобразованием в моды, распространяющиеся в поперечной плоскости линии.

Так как толщина подложки микрополосковых плат невелика, вводят дополнительный металлический экран, обеспечивая тем самым механическую жесткость, возможность отвода тепла от активных элементов и защиту от атмосферного воздействия. Однако введение экрана оказывает влияние на

162

параметры линии, описываемые формулами (10.9 – 10.14). Экран отделяет внутреннее пространство от внешних полей. Часть краевых полей линии замыкается на экран, а не рассеивается во внешнем пространстве, что приводит к увеличению напряженности полей в воздушном зазоре между экраном и линией. Когда крышка и боковые части металлического экрана удалены на расстояние, приблизительно в пять или шесть раз больше, чем соответственно толщина подложки и ширина полоски, влияние экрана на параметры НПЛ пренебрежимо мало.

Для приближенного анализа и синтеза НПЛ можно воспользоваться графиками на рис. 10.6, построенными по формулам (10.9) и (10.10).

Рис. 10.6.

10.4. Симметричная щелевая линия

Симметричная щелевая линия (СЩЛ) представляет собой узкую щель, вырезанную в бесконечной металлической плоскости, расположенной на одной из сторон диэлектрической подложки (рис. 10.7, а). Линии электриче-

ского поля при ε >1 концентрируются в подложке, а магнитного поля – имеют вид элементов, переходящих в кривые типа «седло» (рис. 10.7, б), образуя, таким образом, основную волну СЩЛ, напоминающую конструкцию поля волны типа Н10 прямоугольного волновода. Распределение тока в слое на металлических полуплоскостях (рис. 10.7, в, г) – экспоненциальное.

Необходимо отметить, что к настоящему времени не существует достаточно точной теории СЩЛ и такого отчетливого физического понимания принципа работы СЩЛ, которое характерно, например, для НПЛ. Сказанное относится и к другим щелевым структурам, таким, как несимметричная щелевая линия (НЩЛ) и др. Ниже приведены некоторые приближенные соотношения, поясняющие, с одной стороны, физику работы СЩЛ, а с другой – пригодные для непосредственного практического использования.

Для расчета параметров СЩЛ необходимо знать основные компоненты электрического и магнитного полей. При W / λ <<1 напряжение между краями бесконечно протяженной регулярной щели можно заменить эквивалент-

163

Рис. 10.7.

ным магнитным током. При этом продольная составляющая магнитного поля для любой точки пространства записывается в виде уходящей волны

где r – расстояние от начала координат до точки наблюдения, H(n1) (ζ) - функция Ханкеля первого рода n-го порядка, β = 2π / λ - продольное волновое число, k0 = 2π/ λ0 - волновое число для воздуха, λ = λ0 / εэфф - длина волны в СЩЛ, εэфф - эффективная диэлектрическая проницаемость СЩЛ.

Поперечные составляющие поля СЩЛ в цилиндрических координатах определяются из уравнений Максвелла и имеют вид:

Используя свойства функции Ханкеля и условие |Hz/Hr|=1, определим расстояние rкр от плоскости щели до места нахождения области круговой поляризации:

164

Из формул (10.15) и (10.17) следует, что выражение (10.19) при r → ∞ стремится к единице. Поэтому на некотором расстоянии от щели электромагнитная волна имеет эллиптическую поляризацию (близкую к круговой).

Напряжение в произвольной точке слоя металла, нормированное на напряжение в щели, определяется следующей формулой:

При расчетах эффективной диэлектрической проницаемости и волнового сопротивления СЩЛ часто используется модель линии с электрическими и «магнитными» стенками (рис.10.7, д, е); это позволяет приближенно представить СЩЛ в виде прямоугольного волновода и решать задачу в прямоугольных координатах. Волноводные модели, изображенные на рис. 10.7, д, е, предполагают распространение волны без потерь в продольном направлении СЩЛ.

Введение электрических стенок на расстоянии а, равном половине длины волны (Еτ = 0), и «магнитных» стенок симметричного осевой линии

щели на достаточно большом расстоянии в (Нτ = 0) не искажают в СЩЛ

компоненты поля. В результате из первоначальной структуры (рис. 10.7,а) мы выделили участок, который можно рассматривать как прямоугольный волновод с емкостной диафрагмой, размещенной на диэлектрической подложке (рис.10.7, д). В подобной структуре полный спектр волн, удовлетво-

ряющих граничным условиям, состоит из волн Н1,2n для n ≥ 0 и Е1,2n для n ≥1.

Волны Н10 и все высшие типы волн в волноводе без диэлектрика не распространяются, поскольку величина а меньше половины длины волны в воздухе. В диэлектрике распространяются волны Н10, а распространение высших типов волн зависит от ширины волновода а.

Результаты расчета и аппроксимации по описанной выше модели даются следующими выражениями (9,6 ≤ ε ≤ 20):

для 0,2 ≤W / d ≤1 (W – ширина щели, d – толщина полоски)

для 0,02 ≤W / d ≤ 0,2

165

Необходимо напомнить, что волновое сопротивление в СЩЛ определяется неоднозначно. При выводе формул (10.22) и (10.24) использовано энергетическое определение сопротивления.

Структура же поля СЩЛ такова, что волновое сопротивление можно определить и как отношение максимального напряжения в щели к току, текущему в продольном направлении по металлическим полуплоскостям:

Аналитическое выражение для волнового сопротивления в соответствии с (10.25) имеет вид:

где ln γ = 0,5772 - постоянная Эйлера.

Формула (10.26) в отличие от (10.22) и (10.23) лучше соответствует действительности в коротковолновой части сантиметрового и миллиметрового диапазонов волн. В дециметровом и длинноволновой части сантиметрового диапазонов (10.22) и (10.23) дают более точное совпадение с эксперимен-

Рис. 10.8.

том.

166

На рис.10.8,а приведены дисперсионные кривые волнового сопротивления и длины в СЩЛ с достаточно удаленными стенками экрана, а также результаты, рассчитанные по формулам (10.22) и (10.23). Влияние толщины металлических полуплоскостей на частотные характеристики волнового сопротивления и длины волны в СЩЛ показано на рис.10.8,б. Для узких щелей, как видно из кривых рис.10.8,б, необходимо учитывать толщину металлических полуплоскостей. Для сравнения на рис.10.8,б приведена кривая волнового сопротивления СЩЛ при нулевой толщине проводников.

10.5. Несимметричная щелевая линия

Несимметричная щелевая линия (НЩЛ) образуется металлическими полуплоскостями, нанесенными с разных сторон диэлектрической подлож-

ки. В зависимости от взаимного расположения полуплоскостей относительно друг друга возможны различные модификации НЩЛ: линия с перекрытием либо без перекрытия (рис.10.9, а, б), а также с нулевым перекрытием, когда края полуплоскостей находятся друг против друга.

Рис. 10.9.

В НЩЛ отсутствует кострукторско-технологическая особенность, связанная с реализацией узких проводников и щелей. Это позволяет выполнять НЩЛ с практически любой величиной волновых сопротивлений. Ограничения накладываются лишь наличием излучения энергии (открытая НЩЛ) со стороны больших волновых сопротивлений (большое расстояние между полуплоскостями), а со стороны малых – возможностью возникновения волн волноводного типа и поверхностных волн. Кроме того, НЩЛ обладает боль-

167

шой широкополосностью и простой конструктивной реализацией СВЧ элементов на ее основе в комбинации с НПЛ и СЩЛ, что во многом упрощает включение в нее (последовательно или параллельно) полупроводниковых приборов.

Поле НЩЛ описывается путем формулировки и решения интегрального уравнения с использованием метода Галеркина. Однако для простого и наглядного в физическом плане описания НЩЛ можно воспользоваться полуэмпирической моделью, полученной в результате обработки большого числа экспериментальных данных.

Результатом аппроксимации экспериментальных данных для эффективной диэлектрической проницаемости НЩЛ является формула:

Волновое сопротивление, рассчитанное методом конформных отображений для ограничений ширины проводников и сопоставленное с экспериментальными данными, в результате аппроксимации приводит к следующей зависимости:

(10.28)

где k=0,515+0,5th(W/d-0,75). Сравнение расчетных данных с экспериментальными дает максимальную погрешность порядка 8% при S<0 и до 1% при

S>0.

На рис. 10.10 приведены экспериментальные данные (точки) по изучению НЩЛ, выполненной на подложке из поликора (ε = 9,8). Измерения проводились в длинноволновой области сантиметрового диапазона; результаты расчета по формулам (10.27) и (10.28) представлены кривой 1. Для сравнения

Рис. 10.10.

на этом же рисунке приведены результаты расчета НПЛ (кривая 2) и СЩЛ (кривая 3).

168

Анализ приведенных на рис. 10.10 результатов показывает, что НЩЛ обладает рядом интересных свойств. Во-первых, в случае перекрытия проводников (S>0) волновое сопротивление НЩЛ практически совпадает с НПЛ. Полное количественное совпадение наблюдается при величине перекрытия порядка полуволны и более. В случае без перекрытия проводников (S<0) НЩЛ по своим характеристикам в некоторой степени похожа на СЩЛ.

10.6. Модифицированный метод неортогональных рядов для расчета характеристик полосковых линий передачи.

10.6.1Общая формулировка метода

Вданном параграфе рассматривается модифицированный вариант метода неортогональных рядов, в котором системы неортогональных функций вводятся как решения семейств специальных краевых задач для области более простой формы, чем рассматриваемая. Эти семейства выбираются так, чтобы получаемые системы функций также обладали всеми необходимыми свойствами (полнота, линейная независимость), но учитывали геометрию и характер краевых условий. Они сложнее по форме и методике построения, но лучше передают особенности искомого решения. В связи с этим высокая точность достигается использованием небольшого их числа. В ряде задач для коэффициентов разложения по таким системам функций получаются системы линейных алгебраических уравнений 2-го рода, для которых гарантирована сходимость процесса редукции и вычислительная устойчивость. Таким образом, использование этих систем функций для разложения искомого решения эквивалентно процедуре регуляризации.

Описываемый подход реализуется на примере задачи математического моделирования процессов распространения электромагнитных волн в линиях передачи для интегральных схем диапазона сверхвысоких частот. Построение базисных функций выполняется аналитически при помощи метода задачи Римана-Гильберта.

Сформулируем метод сначала в общем виде. Для этого рассмотрим резонатор сложной формы в виде объема V (рис. 10.11 а, б), внутри которого будем решать уравнение Гельмгольца

169

где: f(Q) - заданная функция.

Конфигурации резонаторов сложных форм (а, б) и соответствующая им ключевая задача для волнового трансформатора (в).

Мысленно удалим поверхность Sα и продолжим отрезки регулярных волноводных каналов до бесконечности. При этом придем к волноводному трансформатору (рис. 10.11 в), для каждого из каналов которого известны

полные системы собственных волн ϕm(α)e± jΓm(α )Zα зависят только от попереч-

Рис. 10.11.

ных для соответствующего канала координат), α=1, 2, ..., N; m=1, 2,... Введем систему функций {Φmβ }, каждая из которых представляет собой решение за-

дачи о возбуждении рассматриваемого волноводного трансформатора m-ой волной β-го канала. Внутри канала с номером α

где Rn(α) - постоянные коэффициенты, δαβ - символ Кронекера,

(В задаче 2 можно перейти, полагая p=0, к уравнению Лапласа. При этом в

(10.32) будет Γn(α)→jχn(α)).

170