Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1330 вузов, 5513 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет
Предмет:
Электромагнитные поля и волны
Файл:

Кураев А.А., Попкова Т.Л., Синицын А.К. Электродинамика и распространение радиоволн

.pdf
Скачиваний:
342
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
5 Мб
Скачать
☆

Устремляя S′ в (18.5) в бесконечность и помещая точку В на поверхность S, имеем:

r e

 

1

r e ∂ϕ

r

 

 

 

∂Πe

(18.6)

Π

(А) = −

 

 

Π

r − ϕ

r

 

4π

∫

dS

 

 

S

 

∂n

∂n

 

 

Соотношение (18.6), выражающее поле Πe в точке наблюдения А через Πe в точках В поверхности S и вспомогательную, пока не доопределенную функцию ϕ , называется формулой Кирхгофа. Функция ϕ обычно называется функцией Грина. Теперь геометрия задачи принимает вид, указанный на рис. 18.3. Здесь дополнительно указано ρ- расстояние от источника до точки В на поверхности S.

Рис. 18.3

Выберем поверхность S специальным образом, как это показано на рис. 18.4. Тогда S=Sc+S0, где Sc – полусфера с радиусом rc, S0 – замыкающая ее

Рис. 18.4

плоскость, нормальная к лучу ОА.

Будем далее считать, что электромагнитное поле создается элементарным (точечным) электрическим излучателем, и поэтому (см. главу XIII):

r

. cm r

 

e− jk ρ

r e− jk ρ

 

 

I

l

 

 

 

Πe (S) =

 

 

 

 

 

 

= C

 

,

(18.7)

j4πεaω

ρ

ρ

 

 

 

 

 

 

где Cr =

 

. cm r

 

 

 

 

 

 

 

I

l

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j4πε ω

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

241

Запишем теперь формулу Кирхгофа для рассматриваемого случая:

r e

 

1

 

r e ∂ϕ

 

r

 

1

r e ∂ϕ

 

 

 

∂Πe

Π

(A) = −

 

∫

Π

r

− ϕ

r

dS −

 

∫ Π

r

 

 

 

 

4π S0

 

∂n

 

∂n

 

4πSC

∂n

r

− ϕ ∂Πe dS (18.8)

∂nr

Рассмотрим предел второго интеграла при rC → ∞, имея в виду, что Πe (S) оп-

ределяется (18.7). При таком переходе ввиду конечности расстояния ОА имеют место следующие пределы:

 

r

→1;

r

,

ρ

→1,

(18.9)

 

ρ

 

r

 

 

r

 

 

 

 

 

C

C

 

 

 

 

r

 

 

 

 

(18.10)

cos(n, lr )→ −1,

 

 

 

r

 

 

 

 

(18.11)

cos(n, lρ )→ −1,

 

В (18.10) и (18.11)

r

- единичные вектора вдоль направлений соот-

lr , lρ

ветственно r иρ (от точек А и О).

Распишем последовательно элементы подынтегральных выражений, используя вид функции ϕ , (18.7), (18.9) ÷(18.11).

∂ϕ

 

dϕ

 

r r

 

 

e−jkr

 

 

1

 

 

r

r

 

r

=

 

 

 

cos(n, lr

)= − jk

 

1+

 

 

cos(n, lr ),

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n

 

dr

 

 

 

 

 

r

 

 

jkr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r e

 

 

 

r e

r

r

r

 

 

e

−jkρ

 

 

1

 

r

r

∂Πr

 

=

dΠ

cos(n, lρ )= C − jk

 

 

1

+

 

cos(n, lρ ).

 

 

 

 

 

 

 

∂n

 

 

 

dρ

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jkρ

 

 

Таким образом, подынтегральное выражение имеет вид:

(18.12)

(18.13)

r

 

 

 

 

e

 

 

 

r

−jkρ

 

−jkr

 

 

1

 

r r

Πe ∂ϕr

− ϕ

∂Πr

= −jkC e

 

 

e

 

 

1

+

cos(n, lr )+

 

 

 

 

 

∂n

 

 

∂n

 

 

 

 

ρ

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jkr

(18.14)

r

 

−jkr

 

e

−jkρ

 

1

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ jkC

e

 

 

 

 

1

+

 

cos(n, lρ )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jkρ

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что при

 

rC → ∞

 

(r, ρ → ∞)

и выполняются (18.9) ÷(18.11).

При этом (18.14) представляет собой разность одинаковых по величине чле-

нов. Учитывая, что Sc~r2

и ρ r → rc2 заключаем, что второй интеграл в (18.8)

при rc → ∞ обращается в нуль, и, следовательно,

Πe (А) находится интегриро-

ванием по бесконечной плоскости S0, разделяющей О и А. Таким образом,

r e

 

1

 

r e ∂ϕ

 

r

 

 

 

 

 

∂Πe

 

Π

(A) = −

 

∫

Π

r

− ϕ

r

dS .

(18.15)

 

 

 

4π S0

 

∂n

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

242

Проведем теперь дальнейшие упрощения (18.15). Очевидно, что инте-

грал (18.15) упростится, если положить ∂∂ϕnr (S0 ) = 0 илиϕ(S0 ) = 0 . Примем второе

условие, т.е. положим

 

ϕ(S0 ) = 0 .

 

 

(18.16)

Имея в виду, что общий вид ϕ указан выше, представим ϕ с учетом

(18.16) следующим образом:

 

ϕ =

e−jkr1

−

e− jkr2

,

(18.17)

 

 

 

r

r

 

1

 

2

 

 

где r1 – расстояние от точки А до любой текущей точки В, r2 – расстояние от точки А’, являющейся зеркальным изображением А относительно S0, до той же точки В (рис. 18.5). Очевидно, что для всех В S r1=r2 и ϕ=0, т.е. условие

A’

S0

A

r2 r1 B

Рис. 18.5

(18.16) удовлетворяется.

Теперь

Рассчитаем

r e

 

1

 

r e ∂ϕ

Π

(A) = −

 

∫

Π

r dS .

4π

 

 

S0

 

∂n

 

 

 

 

 

∂∂ϕnr (S0 ) . Поскольку на

(18.18)

S0 r1=r2=r, выполняется также следующее

равенство:

 

 

 

 

r

r

 

 

 

 

 

r

) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−cos(n, lr1

)

= cos(n, lr2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ϕ

 

 

 

 

 

 

d

 

e−jkr1

 

r r

 

d

e− jkr

 

 

r

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

cos(n, lr

)−

 

 

 

 

cos(n, lr

)=

 

 

 

dr

 

 

 

r

dr

r

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

S0

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

d

 

 

−jkr

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (r1

= r2 = r, учитываем (18.19))= 2

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

cos(n, lr )=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dr

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

−jkr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2

 

 

 

e

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n

 

 

 

 

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.19)

(18.20)

243

Теперь с учетом результата (18.20) имеем:

r e

1

∫

r e

∂ e− jkr

(18.21)

Π (A) = −

 

Π

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

dS.

 

2π S0

 

∂n

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 18.6

Для дальнейших расчетов введем следующие обозначения (рис. 18.6):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

− jkr

 

 

 

 

 

Рассчитаем

 

 

 

e

 

 

 

при

условии,

что kr>>1. В этом случае получим

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

− jkr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − jk

e

−jkr

 

 

 

1

 

 

 

 

 

e

− jkr

cos γ .

(18.22)

 

 

 

1+

 

cos γ ≈ −jk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

jkr

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, когда для полей справедливо приближение дальней зо-

ны

 

 

r

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

получаем, подставляя в (18.21), (18.22) и (18.7):

 

 

 

 

 

>>1,

 

>>1

 

λ

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r e

 

 

 

 

 

jCk

 

 

e−jk(r

+ρ)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Π

 

(A) =

 

 

 

 

∫

 

 

cos γdS0 ,

(18.23)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

rρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.2. Зоны Френеля. Область, существенная для распространения радиоволн

Проанализируем полученное выражение. В соответствии с формулой (18.23) каждый участок плоскости S0 – dS0, являясь элементарным вторичным излучателем, создает поле d Πe (A) в точке наблюдения А, которое в соответствии с (18.23) записывается как

r e

 

jC

 

e−jk(r+ρ)

cos γdS0 .

(18.24)

dΠ

(A) =

 

 

 

λ

rρ

 

 

 

 

 

244

Из (18.24) следует, что амплитуда возбуждаемого в точке А поля про-

порциональна

cos γdS

0

 

ρ + r

. Таким образом, с измене-

 

, фаза ψ = k(r + ρ) = 2π

 

 

ρr

 

λ

 

 

 

 

 

нием ρ и r меняется как амплитуда, так и (что существенно) фаза поля. Такое положение приводит к мысли о разбиении плоскости S0 на отдельные зоны, такие, что фаза поля вторичных источников, расположенных в каждой зоне, в точке А меняется в пределах π, т.е. для каждой зоны ∆ψ = π. Как следует из определения ψ , такие зоны на S0 будут иметь вид колец. Эти кольцеобразные

зоны называются зонами Френеля. Найдем границы этих зон, исходя из того, что ∆ψ = π: ∆ψ = 2λπ ∆(ρ+ r)= π, откуда следует, что ∆(ρ+ r)= λ2 , т.е. при переходе от одной границы зоны до другой ρ+ r имеет приращение, равное λ2 .

Пусть n определяет номер зоны. Тогда

зона1 → ρ1 + r1 −(ρ0 + r0 )= λ 2,

 

зона n → ρ

n

+ r −(ρ

0

+ r )= n λ 2 .

 

n

0

 

Структура зон изображена на рис. 18.7 Соседние зоны помечены чередующимися

(18.25)

знаками, поскольку поля,

Рис. 18.7

возбуждаемые от соседних зон в точке А противофазны. Полное поле в точке наблюдения А, таким образом, будет представлено знакопеременным рядом, каждый член которого представляет поле отдельной зоны

r ∞ r

Πе (А) = ∑Πiе .

i=1

Поскольку фаза возбуждаемого поля при перемещении по радиусу кольца в каждой зоне непрерывно изменяется, на комплексной плоскости

.

сложение элементарных комплексов d Πi даст следующую геометрическую картину (рис. 18.8):

245

∞ r

r

, т.е. если бы были

Как видно из рис. 18.8 предел суммы ∑Πie равен Π1e 2

i=1

Рис. 18.8

закрыты все зоны, кроме первой, интенсивность поля в точке А была бы вдвое большей. Из характера графика рис. 18.8 видно, что основной вклад дают зоны с наименьшими номерами, вклад от зон с высшими номерами пренебрежимо мал. Это означает, что существенной для распространения является область пространства вдоль луча ОА, занимающая в поперечнике конечное число зон Френеля (обычно n<10).

Остановимся теперь на определении размеров и формы существенной области. Пусть можно ограничиться зоной с номером n, тогда, при произвольном расположении S0, должно сохраняться условие, следующее из

(18.25)

ρn + rn = (ρ0

+ r0 )+ n

λ .

(18.26)

 

 

2

 

Это одновременно и уравнение граничной поверхности существенной области. Уравнение (18.26), как известно, описывает эллипсоид вращения с фокальными точками О и А. Таким образом, по форме существенная область представляет собой эллипсоид вращения.

Определим максимальные поперечные размеры существенной области. Введем следующие обозначения (рис. 18.9). Будем считать, что R n << ρ0 , r0 ,

поскольку R ~ { λρ0 , λr0 }, a λ << ρ0 , r0 .

 

 

 

 

Рис. 18.9

 

 

Определим Rn. ρn = ρ02 + R n2 ≈ ρ0 +

R n2

, поскольку R << ρ

0

. Соответственно,

 

 

 

 

2ρ0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

rn ≈ r0

+

R n2

, поскольку Rn<<r0.

 

 

 

 

2r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Используем теперь уравнение (18.26)

246

2

 

1

 

 

 

1

 

 

λ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

= n

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.27)

2

ρ

0

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из (18.27) вытекает, что

2

 

1

1

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

+ r

= nλ

R n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

R n

=

 

 

nλρ0 r0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.28)

 

 

 

 

 

ρ

0

+ r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что размеры существенной области зависят от соотношения ОА и λ. Определим R maxn . Из (18.28) следует, что Rn достигает максимума при r0 = ρ0 , когда S0 находится в центре отрезка ОА. При этом

R nmax =

1

nλR 0 , R 0 = ρ0 + r0 .

(18.29)

 

2

 

 

Форму существенной области,

R maxn / R 0

R nmax

=

1

nλ .

R 0

 

2

R 0

очевидно, характеризует отношение

(18.30)

Таким образом, чем меньше λR 0 , тем более вытянутой по форме ста-

новится существенная область. При

nλ

→ 0 существенная область вырожда-

 

 

R0

ется в нить ОА; в таком пределе строго выполняются все предположения и выводы геометрической оптики.

Поскольку поперечные размеры существенной области при λR 0 <<1

малы по сравнению с R0, интегрирование по S0 в формуле (18.23) можно проводить не по всей бесконечной плоскости, а только в области S0, ограниченной Rn. Это приводит к значительным упрощениям формулы (18.23). Действительно, при условии Rn << R0 можно считать: 1)

 

 

3) (ρ+ r)≈ ρ0

 

 

R

2

 

 

1

 

 

1

 

;

 

соответственно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos γ →1; 2) 1 ρr →1 ρ0 r0 ;

 

+ r0 +

2

ρ

 

 

+ r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

jk(r +ρ)= jk(ρ0 + r0 )+ jk(z

2

2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= R .

 

 

+ y

ρ

 

+ r

2,

где z

 

 

+ y

 

 

)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

247

Сучетом

r

Πr e (A) = jC

λρ0 r0

перечисленных

 

 

 

упрощений

(18.23)

принимает

вид

 

k

2

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

(z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−j

+y

 

+

 

 

 

 

)

 

 

 

 

(18.31)

 

e−jk(ρ0 +r0 ) ∫∫e 2

 

 

 

ρ0

 

r0 dydz .

 

 

S0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Не следует забывать, что (18.31) применимо только при условии, когда

 

λn

 

Rn << R0, т.е. в «коротковолновом» приближении

<<1 .

 

R 0

 

 

 

Рис. 18.10

18.3. Дифракция электромагнитных волн от края непрозрачного экрана

Рассмотрим следующую схему расположения полубесконечного непрозрачного экрана (рис. 18.11).

Рис. 18.11

Расстояние z0 характеризует расстояние от среза экрана до луча ОА. Решение задачи проведем на основе (18.31), воспользовавшись методом Кирхгофа.

В основе метода Кирхгофа лежат следующие упрощающие предположения.

1. Поле в области S0, не занятой экраном, остается таким же, как если бы экрана не было. 2. Токи на теневой стороне экрана отсутствуют.

Эти условия соответствуют пренебрежению искажениями падающей волны на крае экрана. Подобные условия, вообще говоря, выполняются лишь в случае, когда экран согласован слева (не создает отражений), а токи на его

248

крае отсутствуют. В практически интересных случаях (например, проводящий экран) эти условия не выполняются и их использование ограничивает область применения метода Кирхгофа только случаями, когда поперечные размеры существенной области, не закрытой экраном, значительно превышают длину волны. Тогда местное возмущение поля на краю экрана несущественно: неискаженное поле занимает значительно большую площадь.

Введем в подынтегральном выражении (18.31) следующую замену переменных:

 

2

 

1

1

 

 

 

z

 

 

 

 

λ

 

ρ

0

+ r

 

= u,

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

1

 

 

 

 

 

 

y

 

 

= υ

λ

 

ρ

0

+ r

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Соответственно имеем

dz =

 

du

 

 

; dy =

 

 

dυ

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

1

 

2

 

1

 

 

1

 

 

 

+

 

 

 

+

 

 

λ

ρ

 

 

r

λ

ρ

 

 

r

 

 

0

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

Запишем в новых переменных (18.31)

r e

jC e

− jk(ρ +r

) ∞

 

−j

π

υ

2 ∞

−j

π

2

 

 

 

0

0

 

∫e

 

 

dυ ∫e

u

 

Π (A) =

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

du

 

ρ

 

+ r

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

−∞

 

 

 

 

 

U0

 

 

 

Здесь u0

 

 

 

 

 

2

 

1

 

1

 

 

 

 

 

= Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ

 

ρ

0

+ r

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

Интеграл

∞

 

 

 

π

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

∫e

−j

2 υ2 dυ =

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

Проведем проверку (18.32). Положим

(18.32)

u0 → −∞, тем самым перейдя к

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

π

2

и из (18.32) мы полу-

случаю свободного пространства. Тогда ∫e

−j

2 u2 du =

чаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

j

 

 

 

 

 

−jk(ρ0

+r0 )

 

 

−jkR0

 

 

 

 

 

 

 

 

r e

r

e

r

e

, что точно соответствует выражению

Π

e

(A) в сво-

 

 

 

 

 

 

Π

(A) = C

 

 

 

 

 

= C

 

 

 

 

ρ

0

+ r

 

R

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бодном пространстве.

В рассматриваемом случае запишем Πe (A) в виде

249

 

 

 

r

 

 

 

 

r

 

e

−jk(ρ0

+r0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Πe (A) = C

 

 

 

 

 

 

 

 

F(u0 )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18.33)

 

 

 

 

 

0

+ r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ρ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

- дифракционный множитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F(u0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

j

∞

− j

π

u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

πu

2

u0

 

πu

2

∞

πu

2

u0

πu

2

 

 

 

 

 

 

 

∫e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

∫cos

du − ∫cos

 

 

∫sin

 

du − ∫sin

 

 

 

F(u0 ) =

 

 

 

2

 

 

du =

 

 

 

 

 

2

2

 

du − j

2

 

2

 

du

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

0

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

−C(u0 ) − j

 

 

− S(u0 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

πu

2

 

 

 

 

 

 

u

πu 2

du - интегралы Френеля.

 

 

 

 

Здесь С(u0 ) = ∫0 cos

 

du;

S(u0 ) = ∫0 sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

График модуля | F(u0 ) | = F(u0) приведен на рис. 18.12.

Рис. 18.12

Из анализа приведенного графика следует: 1) в области тени (u0>0) поле не исчезает, за счет явления дифракции поле остается конечным при достаточно больших u0; 2) в открытой области F(u0) имеет осциллирующий характер, причем при u0 ≈ −1,2 F(u0) достигает максимального значения (Fmax =

1,175), т.е. Πe (A) имеет большее значение, чем если бы экрана не было.

Тот и другой вывод хорошо объясняются с точки зрения зон Френеля: в тени часть зон Френеля оказывается не закрытой экраном и за счет вторичных источников в этой не закрытой части существенной области возбуждается поле в точке А; при u0 ~ -1,2 экран перекрывает зоны таким образом, что «отрицательные» зоны закрыты больше, чем положительные, поэтому результирующее поле в точке А оказывается усиленным. Если бы речь шла о дифракции на круглом отверстии в непрозрачном экране, то при выборе его диаметра равным диаметру первой зоны Френеля, можно было бы перекрыть все высшие зоны, и тогда, как мы знаем, Πe (A)= Π1e =2 Πe ( Πe - поле в открытом пространстве), т.е. F=2.

В заключение заметим, что метод Кирхгофа дает заниженные значения для Πe (A) в области тени. Это связано с пренебрежением искажениями поля на крае препятствия и, особенно, с пренебрежением влияния токов, затекаю-

250

Соседние файлы в предмете Электромагнитные поля и волны
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности