7. Контрольные вопросы и упражнения

1. Определите исчисление предикатов как формальную систему.

2. Сформулируйте основные теоремы исчисления предикатов.

3. Что такое пренексная нормальная форма и сколемовская стандартная форма в исчислении предикатов?

4. Какие процедуры вывода существуют в исчислении предикатов?

5. В чем заключается процедура вывода Эрбрана?

6. Сформулируйте принцип резолюций в исчислении предикатов.

7. Привести формулу к ПНФ F = x(P(x)xR(x))yQ(y).

8. Привести формулу упражнения 7 к ССФ.

9. Найти фактор дизъюнкта С = P(x)P(g(y)) R(x).

7. Индуктивные рассуждения

Термин «индукция» (от лат. inductio – наведение) в науку впервые был введен Аристотелем, который, в свою очередь, приписывал первое применение этого термина Сократу. Аристотель при создании силлогистики преследовал определенную цель – создать оружие, непобедимое в споре. Если оппонент признавал общее положение, относящееся к классу однородных объектов или явлений, и принадлежность какого-либо элемента к этому классу, то ему ничего не оставалось делать, как признать, что общий для всего класса признак переносится и на отдельные элементы этого класса. Такой процесс рассуждения от общего к частному называется дедукцией.

По определению Брокгауза: «Индукция – это такой процесс мышления, посредством которого мы, опираясь мысленно на принцип единообразия природы, выводим из единичных (а иногда и общих) оснований положение всегда более общее, чем эти основания, например, подмечая какой-либо признак в нескольких объектах, отсюда заключаем о присутствии его во всех объектах того же рода».

Индуктивное мышление обычно противопоставляется дедуктивному мышлению, при котором рассматривают мысленную схему какого-либо явления на основе ясных заданных правил, от общего к частному. Особенно верные выводы индуктивное мышление делает в том случае, когда оно действует на основе наблюдения в предметах сходства типа симметрии.

Так, известный математик и теоретик науки Пойа в своей книге «Математика и правдоподобные рассуждения» приводит следующий пример индуктивного вывода: «Известно, что среди прочих геометрических тел именно у шара отношение объема к площади поверхности максимально. Известно также, что среди прочих тел удельная электроемкость максимальна тоже у шара. Если мы зададимся вопросом, у какого тела минимален удельный коэффициент гидродинамического сопротивления, то умозаключение по аналогии подсказывает – у шара». Вывод оказывается верным.

7.1. Схема индуктивных рассуждений

Необходимо сформулировать для оппонента несколько утверждений об отдельных представителях класса, в существование которых верят оба спорящих. Каждое такое утверждение должно касаться одного и того же признака представителей класса, связанного с элементами этого класса. Далее добиться от оппонента признания правильности этих утверждений. Затем прийти с оппонентом к согласию, что все эти элементы принадлежат к одному классу. Наконец, совершить главный индуктивный шаг – перейти к утверждению о классе в целом и заставить оппонента принять это утверждение.

Главная сложность заключается в последнем шаге, так как он требует не умения логически обосновывать свои утверждения, а веры в их справедливость.

Ключевой вопрос индуктивных рассуждений – сколько должно быть рассмотрено конкретных элементов класса, чтобы индуктивный шаг стал оправданным.

Ответа на этот вопрос нет, поэтому все индуктивные рассуждения являются лишь правдоподобными, их нужно принимать на веру, а обсуждать можно только степень их правдоподобности. Таким образом, каждое индуктивное рассуждение должно сопровождаться некоторой оценкой правдоподобности. Степень правдоподобности вывода можно определить количеством примеров в системе и их правильностью.