9.1. Модальные логики

Вводятся операторы над логическими формулами, которые могут модифицировать их интерпретацию. В зависимости от того, какие операторы вводятся, различают классы модальных логик:

1. Алетические логики – вводятся операторы «возможность», «необходимость»:

□ – необходимость.

◊ – возможность.

□ F  ◊ F.

2. Деонтические логики – операторы «разрешено», «обязательно».

3. Логика знания (эпистемологическая логика) – операторы «знание», «вера».

4. Временные логики – операторы «иногда», «всегда», «часто», «никогда», «в будущем», «в прошлом», «до тех пор», «пока».

Пример. Для алетических модальных логик:

□ F – истинно тогда и только тогда, когда F необходимо истинно (F – абсолютно истинно);

◊ F – истинно если F может оказаться истинным или F истинно в некотором возможном мире.

Для временных модальных логик:

G – оператор всегда;

GF – истинно, если F останется истинным навсегда (G₁F – навсегда в будущем, G₂F – навсегда в прошлом);

I – оператор иногда;

I₁ – иногда в будущем;

I₂ –иногда в прошлом;

IF – истинно, если F иногда будет истинно или иногда оказывалось истинным;

N – оператор до тех пор, пока;

N(А,В) – истинно, если А истинно, начиная с текущего момента и до тех пор, пока В не станет истинным в некоторый момент в будущем.

Для логик знаний:

Верит – (а)А – истинно, если индивид а верит в формулу А;

Знает – (а)А – истинно, если индивид а знает, что формула А истинна.

Для логики знаний вводится аксиома позитивной интроспекции – если некто верит данному высказыванию, то он верит, что верят ему (высказыванию).

Для алетической модальной логики вводится трехзначная семантика (0,1,2). Выделяются следующие классы высказываний:

N – класс необходимых высказываний;

Р – класс возможных высказываний;

I – класс невозможных высказываний;

С – класс нейтральных высказываний (возможно ложных).

Никакое высказывание не принадлежит одновременно N и С или I и Р – закон противоречия. Р содержится в N, а I содержится в С – закон следования возможного из необходимого и нейтрального из абсурдного, невозможного. U – высказывания из множества С – проблематичные высказывания. Закон исключения четвертого: любое высказывание принадлежит либо N, либо U, либо I (N = 2, U = 1, I = 0).

9.2. Применение нечеткой математики

Вводится понятие нечеткого множества – множества, относительно любого из элементов которого можно сделать следующие заключения:

1. Элемент принадлежит данному множеству.

2. Элемент не принадлежит данному множеству.

3. Элемент принадлежит данному множеству со степенью уверенности (0, 1).

Вводятся нечеткие квантификаторы, показывающие, что истинность утверждений не является абсолютной, а также лингвистические шкалы – последовательность нечетких квантификаторов, относящихся к оценке объекта по одному и тому же основанию.

Пример. Лингвистическая шкала расстояний: вплотную, очень близко, близко, недалеко, далеко, очень далеко, бесконечность.

Главная особенность лингвистических шкал – их элементы могут быть отражены в некоторых интервалах значений какого-то параметра, который измеряется в натуральных единицах.

Пример. Применение нечетких квантификаторов

Вывод для достоверных рассуждений:

А; АВ

В

Вывод для нечетких рассуждений (схема №1):

К₁А; АВ

К₂В

где К₁ – нечеткий квантификатор, показывающий, что истинность утверждения А не является абсолютной, степень правдоподобности вывода оценивается нечетким квантификатором К₂.

Пусть К₁ – часто;

А – идет дождь;

В – я не выхожу на улицу;

тогда К₂ может быть квантификатором часто.

Вывод для нечетких рассуждений (схема №2):

А; К₁АВ

К₂В

Пусть К₁ – часто;

А – идет дождь;

В – я не выхожу на улицу;

тогда К₂ – редко.

Вывод для нечетких рассуждений (схема №3):

К₁А; К₂АВ

К₃В

Пусть К₁ – часто;

К₂ – редко;

А – идет дождь;

В – я не выхожу на улицу;

тогда К₃ – иногда (нередко).