8.5. Формализация аналогии

В общем случае аналогия – это вывод подобного заключения, если справедливы подобные предпосылки. Уинстон, исследуя аналогию, считал предпосылкой и заключением причину и следствие в причинных отношениях.

Пусть существует некоторый объект S₁ и множество фактов, справедливых для S₁, это множество фактов разделяется на предпосылки и заключения: предпосылки ₁…_n  заключение , а также объект S₂: предпосылки ₁…­_n,  – отношение между объектами, определяющее подобность – назовем его подобием. Ситуацию, при которой тождественность предпосылок можно рассматривать как подобие , будем записывать в виде _i  _i (1  i  n). Тогда аналогия – это вывод  в S₂ такого, что .

Для строгого определения аналогии необходимо задать:

1. Определение подобия .

2. Метод получения  из заданных объектов S₁ и S₂.

3. Операцию для вывода  такого, что , на основе  (рис. 6).

Прежде всего определение подобия  должно зависеть от представления объектов и их смысла. Пусть объекты аналогии – это ограниченные множества S_i (множество определенных предложений типа «если … – то…»), которое будем записывать в виде В₁…В_n  А, где А и В_j – положительные литералы.

Рис. 6. Принцип аналогии

Термы, не содержащие переменных в S_i , представляют собой отдельные элементы объектов, предикаты р – отношения между элементами, а порождающие атомы р(t₁,…, t_n), не содержащие переменных, – отношение р между элементами t_j.

Обозначим через В_i множество, состоящее изо всех атомов S_i, тогда минимальная модель M_i множества S_i – это множество атомов, логически выводимых из S_i:

M _i = {B_i : S_i },

г де обозначает вывод в логике предикатов. Элементы M_i являются фактами в S_i.

Для определения аналогии между M_i необходимо рассмотреть отношение пар M_i. С этой целью определим пары термов S_i.

Пусть U(S_i) – множество термов, не содержащих переменных в S_i, тогда конечное множество  такое, что   U(S₁)  U(S₂), называется парным соответствием. Здесь знак  означает прямое произведение множеств.

Термы представляют собой отдельные элементы S_i , поэтому парное соответствие можно интерпретировать как некое парное отношение между элементами. S_i в общем случае имеет функции без переменных, поэтому парное соответствие  можно следующим образом распространить на парное отношение ⁺ между U(S_i).

Отношение термов ⁺ U(S₁)  U(S₂), порождаемое , определим как минимальное парное отношение термов, удовлетворяющее условиям:

1.   ⁺.

2. t_i, t_i'  ⁺  f(t₁,…, t_n), f(t₁',…, t_n')  ⁺ ,

где f – функция, содержащаяся одновременно в S₁ и S₂.

Для заданных S₁ и S₂ в общем случае существует несколько возможных парных соответствий . Для каждого из них можно определить подобие как совпадение отношений, т. е. совпадение предикатов.

Пусть терм t₁ принадлежит U(S₁), а t₁' принадлежит U(S₂) и пусть задано  – парное соответствие,  и ' – соответствующие факты в S₁ и S₂. Тогда возможность отождествить  и ' с помощью  и для некоторого предиката р можно записать в виде:

 = P(t₁…t_n), ' = P(t₁',…, t_n'),

причем (t_j, t_j') ⁺ . Кроме того, отождествление  и ' с помощью  можно записать как   '.

Формализуем аналогию на основе парного соответствия. Пусть в S₁ факты ₁,…, ­_n служат условиями того, что факт  справедлив, а именно в S₁ справедливо   ₁,…,­_n . Тогда если в S₂ существует факт _i' такой, что _i  _i', то в S₂ выводится атом ' такой, что   '. Причем атом ' не обязательно является фактом в S₂. Следовательно, такая аналогия наводит с помощью  на мысль о возможности существования атома ', который дедуктивно не выводится из S₂.

Для определения атома ', который можно вывести по аналогии из правила

R:   ₁,…,­_n с помощью  построим правило R':  ₁',…,­_n', затем рассмотрим вывод ' из '  ₁',…,­_n' и известных фактов ₁',…,­_n' с помощью правила «модус поненс». Построение R' из R называется преобразованием правила (на основе ), а процесс вывода ' обозначается следующей графической формой (называемой основной графической формой):

(конкретизация) А  В₁, …, В_n

( преобразование

правила с помощью )   ₁, …, ­_n

(модус поненс) ₁',…, ­_n' '  ₁', …, ­_n'

'

Здесь конкретизация и «модус поненс» – это выводы в дедуктивной системе, поэтому если в этой системе можно будет реализовать часть, указанную пунктирной чертой, т. е. преобразование правила, то будет возможным органичное использование аналогии и дедукции.

Факт ' не обязательно является логическим следствием S₂, однако, благодаря парному соответствию , факт ', по крайней мере, справедлив. Поэтому, предположив существование ', можно продолжить процесс вывода.

Пусть в схеме вывода _i – факт в S₁, а _i' – факт в S₂. Если есть атом, который выведен по аналогии из этих фактов, то допустим, что он тоже является фактом. На основании того же парного соответствия  из _i и _i' выведем новый факт '. Множество атомов, которые можно вывести таким образом, обозначим М_i*.

Пусть  – парное соответствие; I₁, I₂ – множество фактов S₁, S₂, тогда два правила (без переменных) R и R' являются -подобными, если в этих правилах _iI₁, _i'I₂ и , ' , , ' являются подобными.

Пример. S₁ = {f(b,c),

m(a,b),

gf(X,Z)  p(X,Y), f(Y,Z),

p(X,Y)  f(X,Y),

p(X,Y)  m(X,Y)},

где X, Y, Z – переменные; f, m, gf, p – предикаты; a, b, c – константы.

S₂ = {m(a',b'), f(b',c')}.

Рассмотрим парное соответствие  = {a, a', b, b', c, c'}.

Фактами в S₂ являются только m(a',b') и f(b',c'). Прежде всего из основной графической формы получим:

p(x,y)  f(x,y)

p(b,c)  f(b,c)

p(b',c')  f(b',c').

P(b',c') (запишем в M_i*).

По аналогичной схеме получим P(a',b').