3.5. Контрольные вопросы и упражнения

1. Дайте определение формальной системы.

2. Сформулируйте основные теоремы о формальных системах.

3. Может ли выражение baab  abba быть допустимой формулой в формальной системе JP?

4. Силлогистика Аристотеля

4.1. Основные принципы силлогистики

Аристотель (384-322 гг. до н. э.) – древнегреческий учёный-энциклопедист, основоположник формальной логики. Основные сочинения в области логики: «Категории», «Об истолковании», «Аналитики первая и вторая», «Топика», «О софистических опровержениях» под общим названием «Органон».

В «Категориях» излагается учение о высших родах всех вещей. Высший род – это класс предметов с наиболее общими признаками. Такой класс отображается в человеческом сознании в наиболее общих понятиях – категориях. Всего подобных категорий было предложено десять: субстанция, количество, качество, отношение, место, время, положение, состояние, действие и страдание.

В книге «Об истолковании» суждение рассматривается как нечто целое. Суждение – это мысль, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно предметов объектного мира. Утверждать – значит приписывать что-либо чему-либо. Отрицать – отделять что-либо от другого. Различаются частные и общие суждения.

В книгах «Первая Аналитика» и «Вторая Аналитика» излагается теория силлогизмов. Силлогизм – это умозаключение, в котором два суждения связываются с помощью третьего термина. Аристотель всесторонне исследовал первые три фигуры силлогизма. Силлогизмом Аристотель называл «высказывание, в котором при утверждении чего-либо из него вытекает нечто отличное от утвержденного и именно в силу того, что это есть». Он открыл общие правила силлогизма. Сам он проанализировал три фигуры силлогизма. Четвертую фигуру (с пятью модулями) открыл Теофраст (372 – 287 гг. до н. э.).

Аристотелева силлогистика – первая логическая система дедукции. Она положила начало формализации мыслительных процессов. Со времени ее создания прошло более двух тысяч лет, но на протяжении многих столетий силлогистика была единственной моделью дедуктивных рассуждений.

Аристотель и его современники уже знали, что существует, по крайней мере, три типа рассуждений: от общего к частному; от частного к общему; от частного к частному.

Первый тип рассуждений основан на явном для людей положении, что если общее утверждение верно, то должны быть верны и частные утверждения, определяемые этим общим утверждением (дедуктивные рассуждения).

Рассуждения второго типа менее ясны с точки зрения истинности. Такие рассуждения отражают наш путь постижения окружающего мира. Общие утверждения возникают при обобщении частных, отражающих совокупность единичных опытных фактов (индуктивные рассуждения). Истинность общего результата таких рассуждений для людей становится очевидной, если частных утверждений, подтверждающих этот результат, довольно много, а опровергающих – нет.

В рассуждениях третьего типа осуществляется переход от одного частного утверждения к другому частному утверждению, как-то связанному с первым. В этом случае человеческая интуиция в оценке результата почти бесполезна. Это правдоподобные рассуждения, которые лежат на границе допустимых и недопустимых форм рассуждений.

Для формализации Аристотель выбрал дедуктивные рассуждения. Он разработал науку о мышлении, основывающуюся на устойчивых объектных принципах.

Первый такой принцип – принцип непротиворечивости мышления. Нельзя правильно мыслить, если не принимать в качестве исходного положения то, что утверждение и отрицание об одном и том же, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными. Правильное умозаключение должно быть, прежде всего, свободно от противоречия самому себе (закон противоречия).

Второй принцип – закон тождества. Мысль, которая приводится в каком-либо рассуждении, в данной системе изложения, при повторении должна иметь одно и то же определенное устойчивое содержание.

Третий принцип – закон исключенного третьего. Две противоположные мысли об одном и том же предмете, взятом в одном и том же отношении и в одно и то же время, не могут быть вместе не только истинными, но и ложными.

Для формализации дедуктивных рассуждений Аристотель ввел понятие сущности и класса, а также кванторы «всякий» и «некоторый».

Сущность – это все то, о чем можно утверждать нечто.

Класс – это совокупность сущностей, объединенных с помощью общего имени. При этом отдельные сущности могут иметь собственные имена.

Квантор «всякий» (), поставленный рядом с именем класса, показывает, что в высказывании будет утверждаться нечто, что истинно для всех сущностей данного класса. Если класс пуст, т. е. не содержит конкретных сущностей, то высказывание говорит о пустом классе.

Квантор «некоторый» (), поставленный рядом с именем класса, показывает, что в высказывании будет утверждаться нечто, что истинно для какого-то подкласса данного класса. Этот подкласс может сливаться со всем классом или содержать одну конкретную сущность. Важно только условие непустоты этого подкласса, если исходный класс не пуст.

Имена классов сущностей и кванторы образуют базовые высказывания силлогистики (табл. 2).

Таблица 2

Базовые высказывания силлогистики

Высказывание	Обозначение	Интерпретация
Любой S есть P	S P Asp
Любой S не есть P	SP Esp
Некоторый S есть P	SP Isp
Некоторый S не есть P	SP Osp

Здесь S ­– класс сущностей, о котором что-либо утверждается (субъект), P – класс сущностей, определяющий, что именно говорится о субъекте (свойство субъекта или предикат высказывания).

С использованием базовых высказываний законы силлогистики могут быть сформулированы следующим образом:

1. закон тождества – А_ss ;

2. закон противоречия –  (A_sp & E_sp);

3. закон исключенного третьего – (I_sp  O_sp).

Смысл силлогистики – получение правильного вывода на основании исходных фактов. В силлогистике реализована следующая модель вывода:

ПОСЫЛКА 1

ПОСЫЛКА 2

………………

ПОСЫЛКА N

ВЫВОД

По числу посылок различают выводы ранга 0 – законы силлогистики, выводы ранга 1 – законы обращения, выводы ранга 2 – силлогизмы, выводы ранга 3 – сориты. В силлогистике принято правило о числе посылок и классов: при N посылках выделяется N+1 класс сущностей.

В ыводы ранга 1: A_sp  O_sp ; E_sp Е_ps ; A_sp I_ps ; E_sp  I_sp ; I_sp I_ps ; E_sp O_sp .