9.3. Нечеткая силлогистика

Рассмотрим силлогизм, который содержит следующие посылки:

1. Среди тех, кто носит цилиндр, почти все ходят с тросточкой.

2. Среди тех, кто ходит с тросточкой, почти все пьют мартини.

Возможно два варианта вывода в этом силлогизме:

1. Среди тех, кто носит цилиндр, многие пьют мартини.

2. Среди тех, кто носит цилиндр, почти все пьют мартини.

Силлогизм содержит нечеткие квантификаторы «почти все» и «многие». Возникает вопрос, какой из двух возможных выводов верный? Для ответа на этот вопрос рассмотрим население городка, относительно жителей которого сделаны утверждения, и введем следующие понятия.

Пусть а – количество тех людей, которые ходят в цилиндре;

b – количество тех людей, которые ходят с тросточкой;

с – количество тех людей, которые пьют только мартини;

Р(b/a) – доля тех, кто ходит с тросточкой, среди тех, кто носит цилиндр;

P(c/b) – доля тех, кто пьет только мартини, среди тех, кто ходит с тросточкой;

P(c/a) – доля тех, кто пьет только мартини, среди тех, кто носит цилиндр;

P(a) – доля тех, кто ходит в цилиндре, среди всех жителей городка;

P(b) – доля тех, кто ходит с тросточкой, среди всех жителей городка;

P(c) – доля тех, кто пьет мартини, среди всех жителей городка.

Построим таблицу сопряжений между а, b, с в долях от единицы.

	bc	b c	b c	bc
а	z1	z2	z3	z4
а	z5	z6	z7	z8

Отобразим эти доли на диаграмме:

С формулируем ограничения на z, вытекающие из условия задачи:

О бозначим мощности множеств a, b, c через |a|, |b|, |c|.

Введем величину ω = min{|a|, |b|, |c|}>0. Теперь можем ввести дополнительные ограничения на z_i:

для множества а: z₁ + z₃ + z₂ + z₄ ≥ ω;

для множества b: z₁ + z₃ + z₅ + z₇ ≥ ω;

для множества с: z₁ + z₄ + z₅ + z₈ ≥ ω.

Запишем, чему равны доли P(b/a), P(с/b), P(c/a):

P(b/a) = (z₁ + z₃) / (z₁ + z₂ + z₃ + z₄);

P(с/b) = (z₁ + z₅) / (z₁ + z₃ + z₇ + z₅);

P(c/a) = (z₁ + z₄) / (z₁ + z₂ + z₃ + z₄).

Введем величину  = min {P(b/a), P(c/b), P(c/a)}  0 и сформулируем еще одно ограничение: А_доли    0.

Введем нечеткие квантификаторы К₁ – «почти все»; К₂ – «многие», тогда К₁ соответствует P(b/a), и  < P(b/a) < 1.

«Почти все» ~ Р(с/а), «многие» по смыслу меньше, чем почти все, следовательно, Р(с/а) , где  – число, меньшее , которое соответствует квантификатору «многие».

Для того, чтобы узнать, какой из двух возможных выводов верен, нужно определить параметры ω, ,  (статистическая информация о жителях городка). Затем определить, в какой интервал попадает Р(с/а). В результате для определения Р(с/а) получается следующая задача нелинейного программирования:

max (P(c/a) = (z₁ + z₄) / (z₁ + z₂ + z₃ + z₄) min), где min берется по тем z_i, которые используются в формуле, а max – по всем z_i. Решением этой задачи является некоторая величина , от значения которой и зависит ответ.

Если     1, то верен вывод, содержащий квантификатор «почти все», если     , то верен вывод, содержащий квантификатор «многие», если  < , то не верен ни один из выводов.

9.4. Возможные схемы нечетких рассуждений

Вероятностная схема рассуждений

Возможно несколько вероятностных схем рассуждений.

1. P(A  B) > q

P(A) > r

P(B) > min (0, q + r - 1)

2. P(A  B) > q

P(A) > r

P(A) < min (1, 1 - q + r)

3. P(A  B) > q

P(A) > r

P(B) > q * r

4. P(A  B) > q

P(A) < r

P(B) < min (1, q / 2)

Моделирование необходимых и достаточных условий

q, r – отметки на лингвистических шкалах.

1. □ (A  B) > q

□ (A) > r

□ (B) > min (q, r)

2. □ (A  B) > q

□ (B) < r

□ (A) < c

c = 1, при q  r,

c = r, при q > r.

Учет необходимости и возможности

1. □ (A  B) > q

◊ (A) > r

□ (B) > c

c = 0, при q + r  1,

c = r, при q + r > 1.

2. ◊ (A  B) > q

□ (B) > r

◊ (B) > c

c = 0, при q + r  1,

c = q, при q + r > 1.

Учет взаимосвязи между событиями (схема правдоподобных рассуждений)

1. A  B

В – само по себе почти невероятно

В – истинно

А — весьма правдоподобно

2. В без А – практически не происходит

В – истинно

A – B

А – весьма правдоподобно

3. А – весьма похоже на В

С  B

С – истинно

А – весьма правдоподобно