Вопрос 19)Ур-ие малых колебаний струны, начальные и краевые условия

Р/см вдоль оси x натянутую струну закрепленную на концах. Под струной понимается тонкая нить неоказыв. сопр. на изменение её формы. Р/см поперечное колеб струны под возд. заданной силы с плотностью . Откло-нение точек от полож. равновес в различ моменты t будем описывать U(x,t). Здесь T1 и T2 натяжения действ. на элемент струны S1 со стороны соседних участков струны.

Будем Р/см малые колеб. условие:

Выделим произвольный невозмутимый участок x1- - x2 и сответствующее возмущение S1

При малых колебаниях струна не изменяет своей длины.В нач. момент времени натяжение струны во всех точках постоянно. Поскольку при малых колеб струны удлин не происходит, то в соответствии ур-ию Гука: TS – натяжение струны не меняется во времени. Покажем что натяж. не меняется и вдоль координаты x, для этого спроецируем 2-ой з-н Ньютона на ось x:

Итак Натяжение струны в процессе малых колебаний есть величина постоянная. Спроец. 2-ой з-н Ньютона на ось U:

В силу произвольности x1 и x2 из равенства интеграла 0 следует равенство 0 подинтегрального выражения:

это малые колеб струны, при произвольно меняющейся плотности . Если =const то получим классический вид:

получили одномерное волновое ур-е, где:

При =0 получим ур-ие собственных колебаний.

Краевые и начальные условия.

Ур-ие колеб-й струны имеет беск. много решений. Конкрет решение выделяется заданием доп. условий, для этого ур-ия являющимися краевыми и начальными. Р/см краевые условия для струны:

1) Края струны жестко закреплены:

U(0,t)=U(l,t)=0; краевые условия 1-го рода.

2)Края струны движутся по определенным законам:

U(0,t)=1(t); U(l,t)=2(t). неоднородные условия 1-го рода.

3)Края струны свободно перемещаются в пространстве:

однородное условие 2-го рода. U-отклонение точек ст-ны

Возможны различные комбинации записанных условий.

Начальные условия - задание нач. отклонения и нач. импульса точек струны:

Возбудить колебания струны можно либо заданием внешней силы (правая часть уравнения колебаний) либо не нулевыми нач. усл, назыв. собственными колеб.струны.

Совокупность сформулированных краевых и нач. условий гарантирует ед. решения волнового ур-ия.

Вопрос 20)Электростатическое поле между заряженными проводящими телами

Известно, что эл.стат поле в пустоте описывается ур-ями Максвелла: {rot E = 0  E = - 

{div E = 0 div grad   ∆  = 0

В пустоте эл стат поле м.б. описано гармонической скалярной ф-цией. Р/м эл.стат поле в прост-ве занятым диэлектриком в кот распределены заданные заряды. В этом случае поле задано : { rot E = 0

{ div ξ₀ E = 

 - суммарная плотность заряда в точке:  =  ₀ +  _n

 ₀ - плотность заданных свободных зарядов

 _п - плотность поляризационного заряда диэлектрика (зависит от результир. поля Е). Из элект :  _п= -div P

P – вектор поляризации ; можем записать:

div ξ₀ E =  ₀ – div P div (ξ₀ E +P) = ₀

div Д =  _{0 ГДЕ} Д= ξ ₀ E + P (вектор смещения)

Р и Д в каждой точке зависят от поля Е в этой точке :

Р = æЕ [æ – нелинейный оператор]. Если диэл однород и изотопный то æ превращ в число и тогда :

Д = ( ξ₀ + æ ) Е = ξЕ [ξ – диэл проницаемость] легко получить : div Д = div ξ Е =  ₀ . Для большинства диэл ξ не зависит от Е и ее значение устанавл. экспери-мент-но и ее можно считать извес-ной величиной. Ур-ние rot E = 0 позволяет записать : E = -  ; подставл Е в последнее :

div ξ grad  = -  ₀ – ур-ние Пуассона.

Если ξ = сonst  ∆ = -(₀ /ξ) (описывает эл. cтат поле в диэл.) . Р/м пример, иллюстрир постановку доп у. для этого ур-ния. Пусть необходимо расчитать эл поле в проводящей оболочке , заполненной диэл с ξ=const и свободными зарядами с плотно-стью . Внутри оболочки распо-ложено n проводящих тел. Известно, что результир потенциал внутри удовлетв условию : ∆  = - ( ₀/ξ) Е=0 Представим реш-е ур Пуасона в виде :  =  _ +  ₀ ; Источником  ₀ – явл заряд индуцир. На пов-ти проводников ;  _ - частн реш ур-ния Пуассона

 ₀ –гармонич функ приним на пов-тях S_i значения

₀ |_Si =C_i - _ |_Si =const в обл везде = 0.

Где C_i =const (различные для каждой S _i ). Т.к  определ с точностью до const , то С ₀ = 0 .

Для любого S _i : С _i – C ₀ = U _{i 0}

где U _{i 0} – напряжение между S _i и S ₀ поверхностями.

Т.к. С ₀ = 0 , то С _i = U _{i 0} i=1,2,3,… U _{i 0} - измеряется вольтметром. Итак реш-е сведено к реш-ю ур Пуасона с доп. усл. : {∆  = - ( ₀/ξ)

{ |_Si =C_i

Можно показать , что эти доп условия гарантируют единственность реш ур-ния Пуассона.

Замечание: аналогично можно сформулир внешнюю эл статич задачу , когда S₀ отсутствует. В этом случае в кач-ве доп условия надо задать потенциал на .