Вопрос 14) Прогревание полупространства. Задача Релея.
Рассмотрим
полупространство x>0,
температура кот = 0 , T(M,0)=0
(рис) . Нужно найти распределение то-ры
при x>0.
Решение. В силу постановки задачи
искомое температурное поле может
зависеть от x
и t.
Для
решения воспользуемся преобразованием
Лапласа по переменной t.
,
+
.
По таблице изображений и оригиналов
находим оригинал
.
Erf
– дополнительный интеграл ошибок
Вопрос 15) Интеграл Дюамеля.
Если
известно решение з. Релея при единичном
гранич условии, то реш. при произв.
меняющемся во времени гран. усл. можно
постр. с пом-ю -ла
Дюамеля. Псть реш. при ед. имеет вид: {
(x,p)=(1/p)
exp{-x
p/a}.
Реш. при произв. меняющ. во времени кр.
усл. f(t)
= T(0,t);
{
(x,p)=
(p)
exp{-x
(p/a)}
Исключая из этих соотн. exp
получим:
(x,p)=
(x,p).
Оригинал такого изображения опред-ся
-лом
Дюамеля.
(x,t)=
T(x,0)F(t)
+ 0t
f()T1(x,t-)d.
Это и есть решение.
Вопрос 20) Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве
ОПРЕД:
Фундаментальное решение ур-ия тепло-сти
в свободном пр-ве назыв: 1) Р-ние одномерн.
однород. ур-ния тепло-сти убыв на ;
2) Циллиндрич симметр реш ур-ния тепло-сти
убыв на ;
3) Сферич симметрич решен ур-ния тепло-сти
убыв на .
Эти фунд реш удовлетв след з-че с нач
условиями:
Здесь
-
дельта ф-ция координат. Вычислим
фундамент решения T=T(x,t)
Эту з-чу удобно решить методом преобраз
Лапласа. Сопоставляя всем ф-циям времени
их образы Лапласа, получим:
.
Будем искать
симметрчн реш этого ур-ия вида:
;
Достаточно
найти реш на оси (0,),
сформулировав краев условия в т. x=0.
Для этого проинтег ур-ие от -
до
:
.Устремляя
в последнем соотношении
и учитыв непрер
,
получим краев условия в т. x=0:
Итак, для построения ф-ции T(x,p)
на полож полуоси необходимо:
+
;
.
т.к. ищется убывающее решение, то
.
По справочникам находим оригинал:
-
фундамент реш.Фундаментальное реш
используется для постороения интегральных
представлений решений нач краев задач