Вопрос 12) Метод разделения переем. (Фурье) для ур-я диффузии.

П окажем этот метод на конкретном при-мере. Пусть есть шар R, нагрет до Т₀ . Пусть в момент t=0 этот шар в переме-шиваемую жидк-ть T₁ < T₀. Найти распред-ние темпер-ры внутри шара: T(M,t)=? Решение: В силу симметр.  что искомое темп/поле будет зависеть только от T(r,t). В силу интенсивного перемешив/я и выс. теплопроводно-сти шара можно считать, что t⁰-ра пов-ти шара T(R,t) = T₁ . Уравнение для t⁰-ры : T = - (1/a)T/t = 0. Сферич система : 1/r² (/r)(r² T/r) - 1/a(T/t) = 0. Для реш-я задачи удобно ввести вспом ф-ю: (r,t)=T(r,t)-T₁; { (1/r²)/r(r² /r) - 1/a(/t)=0, { (R_Ш,t) = 0, { (r,0) = T₀ – T_{1 ,} {  (r,t) <  . Если применить метод Ф. непоср-но к этому ур-ю, то реш. может быть выраж. через ф-и Бесселя. Можно упростить ур-е так, чтобы прийти к тригоном. ф-ям. Из 1/r (/r)(r² /r) - 1/a(/t)(r) = 0, можно получить ²/r²(r) - 1/a(/t)(r) = 0. Введем новую ф-ю. (r,t)=r. Сформулир. краев. зад. для этой ф-и. { (²/r²) - 1/a(/t) = 0; { (R,t) = 0 : (r,0) = r(T₀-T₁); { (r,t) / r < .В соотв. с методом Фур. ищем реш в виде: (r,t)=R(r)(t). R``-mR = 0 : `-ma = 0 - m=const разделения. Решение имеет вид: (t)=C₁e^mat. Поскольку реш не может неогр-но возраст  положить m = -². В этом случае имеем: (t)=C₁exp(-²at); R(r) = C₂ sin r + C₃ cos r. Заметим, что ф-ция R(r)/r <  откуда имеем: C₃ = 0. Удовлетворяя краев. усл. : R | _S = 0  sin R₀=0  _k = k/R₀ , k = 1,2. Частное реш. для _k можно записать в виде: _k (r,t) = D_k exp(-²_k at)sin _k r. Общее реш. ищется наложением : (r,t)=_k D_k exp(-_k²at)sin _kr. Удовлетворяя нач. усл. зад.: r (T₀ - T₁) = _k D_k sin r_k  находим коэф. D_k : D_k = (T₀ - T₁) 2R₀ / [k(-1)^k-1] Возвращаясь к темп/полю T(r,t) получ окончат решение.: { T(r,t) = T₁ + 2R₀(T₀-T₁)/(r) _k[ (-1)^k-1/ k]exp(-_k²at) sin _k r; { _k = k / R₀.

Вопрос 13) Примен. Преобр-я Лапласа для реш. Ур-я дифф

Используя преобр-е Лапл. по времени можно ур-е дифф-и привести к ур. содержащее только пространственые производные. При этом нач. краев. задача преобр в краев. задачу, методы реш. кот. р/ны раньше. Рассм ур-е дифф-и: { - 1/a(/t)=f. Предпол, что все ф-и в этой зад. { (M,0) = ₀ (M) принадл. множ-ву оригиналов тогда{ (M,t)|_Mt = ₁(M,t). использ. преобр-е Л. по t к ур-ю и доп. усл, и use его св-ва получим краев. задачу для изобра-жений. { ⁰ - P/a (⁰) = F⁰ - ₀(M)/a; {⁰(M,P)|_MS = ⁰₁(M,P). Заметим, что нач. усл. вошло в прав. часть ур-я. Если реш. этой зад. построено, то оригин. можно восст. с пом-ю -ла:  (M,t) = 1/2i _-i^+i⁰(N,P)e^ptdP, Re p =. Этот -л можно вычислить с помощью вычетов.