Вопрос 46) Решение задачи Дирихле для полосы

Для построения ф-ии Грина необходимо отобразить полосу на внутренность единичного круга так, чтобы перешла в центр круга.

Отображение построим в несколько этапов. Вначале отобразим внутренность полосы на верхнюю полуплоскость. В качестве первого отображения можно использовать экспоненту.

(рисунок)

Отсюда следует, что переводит линию в положительную часть действительной оси, а линию в отрицательную.

В качестве 2-го преобразования используем дробно-линейную ф-ю:

- ф-я Грина для полосы

=

Совершенно аналогично:

- Ф-я Грина для полосы (задачи Дирехле)

Фычислим ее производную на границах полосы L

Подставляя эти соотношения в интегральное представление реш-я задачи Дирехле, получим интеграл Пуассона для полосы :

Поскольку интегралы несобственные, на ф-ии накладываются опр. ограничения – она должна достаточно быстро убывать

Вопрос 45)Решение задачи Дирихле для круга.

] sys{=0; |_L= f }. В эт случ ф

Грина мож смоделирова с пом

1-го ист-ка, располож в

точке 1, симметричной точке

М относительно окружности.2 точки наз симметр относит окр-ти R, если они лежат на1-м луче, выход из центра окр-ти и удовлет усл-ю r_Mr₁=R². / Ф. Г. будем искать в виде: G(M,N) = ln 1/r_MN + C₁ln C₂/r_1N ; задача сводится к отыск С₁ и С₂. Устремляя N к Q, прирав рез-т к 0, имеем: ln 1/r + C₁ln C₂/ = 0. В силу симметрии и подобия -ков ОQ1 ~ ОMQ. Имеем: =Rr/r_m для  гранич точки, тогда ф-я Грина на границе: ln 1/r + C₁ ln C₂r_m/(Rr) = 0. Оч-но, это рав-во мож удовлет положив С₁= -1; С₂=R/r_m. Тогда

ф-я Грина приним вид: G(M,N) = ln(1/r_MN) – ln R/(r_mr_1N)

Вычислим нормальную производную ф.Г. на границе: /n_Q(G(M,N))|_QL = /n_Q ln 1/r - /n_Q ln R/(r_m) /n_Q ln (1/r) = - cos(r n)/r = - (R²+r² - r_m²) / (2Rr²) это произ скал/поля по напр-ю. Аналогично вычисляем: /n_Q ln R/(r_mr_1N) = - cos( n)/ = - (R² + ² - r₁²)/2R². Подставляя:  = Rr/r_m ; r₁ = R²/r_m , получим:

/n_Qln R/(r_m) = - (r_m² + r² - R²)/2Rr².

Итак, нормальная производная ф.Г. на границе равна: G(M,Q)/n_Q|_QL = - 1/R(R² - r_m²)/r²,

при этом реш-е задачи Дерихле дается ф-лой: - Пуассона для круга.

-л Пуассона удобно вычислять в поляр коорд-тах. Use т. cos-сов получим:

Замеч-е: Повторяя выкладки, мож постр реш внеш з.Д. для круга. Оно будет отлич от построен толь знаком «-» перед -лом. Аналог-но предыдущ определ/ся ф-я Грина задачи Дерихле и строится реш на пл-ти. Ф.Г. представима: sys

{ G(M,N) = ln 1/r_MN + U_m(N) ; _NU_M(N) = 0; G(M,N)|_L = 0}. Отличие в том, что в точке M=N имеет логариф особен-ность. Реш-е задачи Дерихле выраж-ся:

(М) = -1/2 _L(окр)(Q)/n_QG(M,Q)dl_Q