Вопрос 25)Фундаментальное решение ур-ия Лапласса

Построим ур-е Лапласа, зависящее только от расст до нек-рой фиксированной точки. Совместим с этой точкой начало сферических координат.

(1/r²)/r(r²(φ/r))=0

Дважды интегрируя, получим: φ(r)=c/r+d

При c=1, d=0: φ(r)=1/r – фундам реш ур-я Л.

Заметим, что фундам реш – гармоническая ф-ция, за исключением точки r=0.

Построим реш-е ур-я Л, завис только от расстояния до нек-рой фиксированной в пр-ве оси. Совмещая ось z цилиндрической СК с этойосью, запишем ур-е Л в виде: (1/r)/r(r(φ/r))=0

Дважды интегрируя, получим: φ(r)=cln(1/r)+d

При c=1 и d=0 построенное решение наз-ся двумерным фундам реш-ем ур-я Л. φ(r)=ln(1/r)

Эта ф-ция наз-ся гармонической во всех точках за исключением r=0.

Вопрос 26)Основное тождество гармонических ф-ий

Рассмотрим некоторый объем V ограниченных замкнутой гладкой поверхностью S.(рис) Для любых двух дважды дифференцируемых функций справедливо второе тождество Грина:

_V(ψ - )dV = _S(ψ(/n) – (ψ/n))dS (*)

Положим здесь  - гармоническая функция, а  = 1/r_MN, где M,NV, где M – фиксированная точка, а N – переменная. В этом случае тождество (*) становится несправедливым, поскольку в точке M = N функция  не дифференцируема. Окружим точку М сферой радиуса R. Сферу обозначим S_R, а объем сферы V_R. Применим второе тождество Грина для области: V - V_R и ,  = 1/r_MN :

_V-Vr( - )dV = _S+Sr( ψ(/n) – (ψ/n)dS

Интеграл слева обращается в ноль т.к. функции  и  гармонические в этой области функции. В результате получаем:

_S+Sr( 1/r_MN(/n) – (N)(/n) 1/r_MN)dS_N = 0 (**)

Вычислим отдельные интегралы по S_R:

_S+Sr(1/r_MN(/n))dS_N = 1/R(/n)(M^*) 4пR²

_SfdS = f(M^*)S

Здесь M^* некоторая точка принадлежащая S_R. Устремляя в этом соотношении R к нулю и учитывая ограниченность (/n) получим:

Вычислим второй интеграл:

-_Sr((N)(/n_N) 1/r_MN)dS_N = _Sr((N)(/r)1/r)dS_N =

= - 1/R² _SrφdS = - (φ(M^* )/R²)4пR² = -4п φ(M^* )

Здесь M^* некоторая точка принадлежащая S_R. Устремляя в этом соотношении R к нулю получим:

Подставляя вычисленные два предела в формулу (**) получим:

φ(N) = (1/4п) _Sr( 1/r_MN(/n(N)) – (N)(/n_N) 1/r_MN)dS_N

Записанное соотношение выражает гармоническую внутри V функцию через ее граничные значения и называется основным тождеством гармонических функций. Замечание: Если внутри V функция φ удовлетворяет ур-ию Пуассона:  = f, то повторяя выкладки получим формулу:

(M) = - (1/4п)_V(f(N)/r_MN)dV_N + (1/4п)_S( 1/r_MN(/n(N)) – (N)(/n_N) 1/r_MN)dS_N

Это есть интегральное представление любой дважды дифференцируемой в V функции. Повторяя выкладки можно получить основное тождество на плоскости:

(M) = (1/2п)_V(ln(1/r_MN)(/n(N)) – (N)(/n_N)ln(1/r_MN))dℓ_N