Вопрос 50)Метод наименьших квадратов

В этом м. в кач-ве весовой ф-ции исп-ся сама невязка. Из (**) будем иметь: . В этом случае реш-е задачи находится из условия min запис-го функционала. Нужно так подобрать С_к чтобы функционал I достигал своего min. Можно пок-ть что для ур Лапласа и Пуассона достаточно выполн. Рав-ва: . Эти соотнош. задают СЛАУ относит. С_к . Вып-ем конкрет-й вид этого СЛАУ. . Раскроем скобки и дифуем по С_к. . Перепишем эту СЛАУ в виде: ; ; Заметим, что МНК предполагает 2-ы диф-мость базис-х ф-ий.

Вопрос 51)Метод Галёркина

В методе Галёркина в качестве весовых ф-ций _i используются базис. ф-и  _i при этом выражение (**) преобразуется к виду: Подставляем вместо и раскрывая скобки получим СЛАУ. . ; Заметим, что метод Галёркина предполаг. однократ дифу-емость баз. ф-й. Если в методе Гал. в качестве базисных ф-й выбрать локальные ф-и, то получим МКЭ на основе мет. Галёркина. Заметим что СЛАУ метода Гал. совпад. со СЛАУ метода Ритца однако мет. Гал. не предполагает перехода к вариационной задаче и построения функционала.

Вопрос 52)Граничные интегральные ур-ия.Решение задачи Дирихле Методом гиу

Метод Г.И.У - один из самых мощных методов построения приближенных решений. Его преимущ. заключ. в том что все операции выполн. на границе области, разм-ть которой на 1 меньше разм-ти самой области. Метод И.У. основан на интег-ом представл. гармонической ф-ии в виде интегралов по границе области. Эти интегралы имеют вид потенциалов. Известно, что любая гармоническая ф-ия имеет вид интеграла представления: (*) Заметим что Устремляя здесь точку М к граничной точке Р и повторяя выкладки, получим:(**) . Ω_P=2π для трехмерной задачи, а Ω_P=π для двумерной. Решение задачи Дирихле методом ИУ. Воспользуемся (**), здесь φ(N) известная функция на границе, а ∂φ/∂n – неизвестная. Перепишем (**) в виде: (***) Где . (***) – интегральное урав-ие 1^го рода, σ – неизв. ф-ия, а1/r_PN – ядро ИУ, F(p) – свободный член ИУ. Особенность таких ИУ является возможность численной неустойчивости его решений , т.е. зад. решения ИУ 1^го рода – некорректна. Решение з. Дирихле можно свести к реш-ю ИУ 1^го порядка с(***). Укажем 1 из вар-тов численного решения ИУ (***). Разобьем: внутри каждого ΔS_i отметим P_i и положим σ(P)=const для каждого ΔS_i . Будем считать F(P_i)=const. Тогда ИУ (***) можно переписать в виде: где k=1,2,3, …т. o. реш. ИУ (***) сводится к решению СЛАУ.