Вопрос 5)Решение задачи Неймана методом иу

П усть в некоторой замкн. области ограниченной S с нормалью необходимо решить зад. Неймана уравн. Лапласа. . Решение можно искать в виде потенциала простого слоя: . Эта ф-ия, удовл-щая урав-ию Лапласа, явл-ся гармонич. Подберем σ так, чтобы удовлетворить условию задачи. Удовлетворяя им и используя св-ва потенц. простого слоя, получим: Q S. , перепишем его в виде: ИУ для задачи Неймана. Ранее было показано, что 1/2π – характерист. число и соответствующая ему ф-ия равна конст-те, поэтому записанное ИУ непригодно для численного решения. Т.к. зад. Неймана разрешима с точностью до константы, будем искать то решение, удовлетворяющее условию: , откидывая все σ+const, выделяем единственное решение. Складывая последнее условие ИУ задачи Неймана, получим преобразованное ИУ зад. Неймана: можно показать что число 1/2π не является характеристическим, и оно разрешимо единственным образом.

Замеч. При решении зад. Неймана уравн. Пуассона схема остается прежней. . Решение ищется в виде: Где φ_f(М) – какое либо частное решение, а φ₀ решение однородного уравнения и представимо в виде потенциала простого слоя: . Удовлетворяя краевым условиям, получим ИУ з.Н. для уравнения Пуассона.

Вопрос 6)Решение задачи Дирихле методом иу

Пусть в области V необходимо решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа. Решение удобно искать в виде потенциала двойного слоя: . . Решение удобно решать в виде потенциала . Уравнение выполнено при любом т. Подберем т так, чтобы удовлетворить граничным условиям. Используя св-ва потенциала двойного слоя, получим: . Перепишем его в виде: . ИУ задачи Д. для уравнения Лапласа. Число (-1/2π) не является характеристическим для ИУ. Следовательно, ИУ з.Д. разрешимо и при том единств. образом. Аналогично решается з.Д. для уравнения Пуассона. Замеч. Рассуждения по поводу св-в ИУ з.Д. и з.Н. можно принять в качестве доказательства существования этих задач.

Вопрос 7) Решение ур-ия Пуассона,теорема об объемном потенциале

Пусть в некоторой области необходимо решить задачу Пуассона. ∆φ=f , где f – некоторая функция с ограниченным носителем. Решение представимо в виде: φ=φ_f+φ₀ , где φ_f – какое-либо частное решение, φ₀ – гармоническая функция. Укажем один способ построения частного решения уравнения Пуассона. Сначала построим решение, используя электростатическую аналогию. Пусть в некоторой ограниченной части пространства задано распределение зарядов ρ(М), необходимо найти электрическое поле во всем пространстве. Из уравнения электромагнитного поля имеем: ; . Искомый потенциал должен удовлетворять этому уравнению Пуассона. С другой стороны искомый потенциал легко построить с помощью закона Кулона и принципа наложения. Положим, плотность заряда равна ρ(Q), тогда в соответствии с законом Кулона:

И нтегрируя по области определения заряда, получим: (*) С одной стороны φ – решение Пуассона, с другой стороны независимо, мы показали, что φ вычисляется по (*) интеграл в (*) и есть частное решение уравнения Пуассона Интеграл в (*) называют объемным или Ньютоновым потенциалом. Теорема о свойствах объемного потенциала. Теорема: Если V ограничена, а f – кусочно непрерывна, ограничена, и имеет кусочно непрерывные первые производные, то объемный потенциал удовлетворяет условиям: 1). Он ограничен в любой точке N пространства и стремится к 0 на бесконечности как 1/r. 2). Непрерывен всюду включая точки разрыва f.3). Имеет всюду первые непрерывные производные, которые можно вычислить дифференцированием под знаком интеграла. 4). Имеет непрерывные вторые производные в точках непрерывности первых производных f.,5). Удовлетворяет уравнению Пуассона ∆φ=f в области определения f., Итак, решением уравнения Пуассона является объемный потенциал: . Замеч. Частным решением двумерного уравнения Пуассона является логарифмический потенциал: ∆_Sφ=f . Этот потенциал возрастает логарифмически.