Вопрос 31)Разделение переменных в полярных координатах

Р/м ур. Лапласа на пл-ти в поляр коор-тах (1/r)(/r)(r/r) + (1/r²)(²/²)=0. Базис реш-е ищем в виде : _k(r,)=R(r)A(); Подставляя в ур-е : A/r (rR)  + RA/r² = 0;r(rR) / R = - A/A =  (константа разделения).Найдем решение этих ОДУ для различных .1)  = 0 { R(r)=C₁ln(1/r)+C₂ ; {A()=C₃+C_4. Если  принадлежит [0;2], то в силу однозначности нужно положить С₃=0. Базисное решение будет иметь вид ₀ = a₀ ln(1/r)+b₀ .2)  = n ² >0 { r(rR)- n²R=0 -> r²R+rR-n²A=0 - Эйлера. { A+n²A=0 - ур-ние триг. ф-й. Решение : {R(r)=C₁r ⁿ + C₂ r^-n; {A()=C₃ sin(n)+C₄ cos(n); Если  принадлежит [0;2] то следует положить n=1,2,3,...Базисное решение : ₀ (r,) = r ⁿ(a⁺_n sin n + b⁺_n cos n) + r^{- n}(a^-_n sin n + b^-_n cos n) 3) = - n² <0 ; A- n ²A=0 -переодических решений не существует. Построим общее решение ур. Лапласа для переодич. ф-й наложения. (r,) = a₀ ln(1/r) + b₀ + _n=1^ [r ⁿ(a⁺_n sin(n) +b⁺_n cos n) + r ^--n (a^--_n sin(n) + b^--_n cos(n))] ( * ) все переодич по  решения ур. Л содержаться в этой ф-ле. Пример 1.Тонкий пучок электронов движ. со скор. V проходит по оси электростатической линзы состоящей из 2-х не соприкас. || оси х полуцилиндров. Между кот поддерживается пост напряжение U. Найти угловое отклонение  если tg <<1……ma=eE; S=at²/2 a=eE/mt=l/v; rot E=0, E= -;div E=0, =0 Эл-стат поле описывается ур-ем Лапласа. Причем:a ₀ = 0 ; r ^--n ( a^--_n sin n + b^--_n cos n)=0. Краевое условие : (R,)=0, [;2]; (R,)=U, [0;] Пример 2. Найти эл. поле внутри и вне диэл. цилиндра R внесенного в эл. поле E₀-однород.Тк. Поле стац-но : rotE=0 Е=-, div E = 0 =0 вне S.2 потенциала : ⁺ = ^-- =0 Вне S явл гармонич-ми. Сформул. доп усл.В силу непрерыв. касат.составляющей поля E : Е⁺ = Е^-- -> ⁺(R,) = ^--(R,) (1)D⁺n(R,)=D^--n(R,) D=E= -; ⁺ ⁺/n (R,) = ^-^-/n(R,) (2); ⁺(r,) < ;  ^-- |_ = ₀() = -E₀ x = -E₀ rcos. Заметим что ⁺ и ^-- чётные ф-и . общее решение: ⁺ -огранич. чётная функция.{ ⁺(r,)=_n=1^ [rⁿ b⁺_n cos(n)], { ^--(r,)=_n=1^ r^--n b^--_n cos(n) - E₀rcos. Удовлетвор записанным кр условиям определим b⁺_n и b^--_n {Rⁿ b⁺_n cos n = - E ₀Rcos +  R^--n b^--_n cos n; {⁺ nR^{n -1}b⁺_n cos n= - E ₀^--cos+ ^--nR^{- n -1} b^--_n cos nВ силу лин независ тригонометрич ф-ций эти рав-ва спра-ведливы при рав-ве коэф-ов при COS одинак кратности: Приравнивая при n=1 : { Rb⁺₁ = - E ₀R + b^--₁/ R ; { ⁺ b⁺₁ = ^-- b^--₁ / R² Разрешая эту СЛАУ находим : { b⁺₁= - 2^-- / (⁺ + ^-- ); {b^--₁ = R² E₀ (⁺ - ^--)/ (⁺ + ^--) Для n=2,3 получаем однородные СЛАУ с оределителем не = 0 . Поэтому все остальные коэф = 0 и решение имеет вид : { ⁺(r,) = - 2^-- / (⁺ + ^--) E₀ r cos{ ^--(r,) = - E₀ r cos + R² (⁺- ^--)/(⁺ + ^--) E₀ (cos/r)Выражение для потенциала внетр и вне диэл-ка . 2-е слагаемое для ^-- описывает вне цил-ра поле поляри-зацио заряда , удов-ет (1/r) . Установим характер резуль-тир. Поля внутри цил-ра. Для этого вычислим : Е⁺ = -⁺= - e _x (⁺/x)= e _x 2E₀ ^-- / (⁺ + ^--) (однород поле внутри). Заметим что если ⁺<< ^-- (дырка в диэл-ке), то Е = e _x 2E₀ Пусть ⁺  проводящий цил-р), тогда поле E⁺ 0