Вопрос 37)Сведения начально-краевой задачи для волнового ур-ия к интегро-диференц. Ур-ию

Пусть в некоторой ограниченной области V необходимо решить следующую начально краевую задачу для волнового ур-ия:

ϕ ;

дополнительные условия

ϕ|_s=ϕ₀(M,t)

s-граница области

начальные условия

ϕ(M,0)=ψ₀(M)

;

перепишем ур-ие задачи в виде:

;

;

И временно будем считать F известной(ур-ие Пуассона).Предположим нам известна ф-ия Грина 1-ого рода для ур-ия Лапласа для обл V тогда решение ур-ия Пуасона с заданными граничными условиями можно записать в виде:

;

первое слагаемое частное решение ур-ия Пуассона а второе гармоническая ф-ия.Подставляя вместо F его конкретные значения получим:

ϕ(M,t)+

;

ИДУ к нему необходимо добавить F₁(M,t) начальное условие

{ϕ(M,0)=ψ₀(M);

{ =ψ₁(M);

Решить это ИДУ можно двумя способами:

1)Заменяя вторую частную производнуюпо времени конечными разностями получим, совместно с начальными условиями совокупность ИУ которые необходимо последовательно решить, например сведением к СЛАУ

2)Метод преобразования Лапласа по переменной t.Поскольку ф-ия Грина G не зависит от времени к ИДУ можно применить преобразование Лапласа (при учете что все ф-ии в ИДУ принадлежат множеству оригиналов.Применяя к ур-ию преобразование Лапласса по переменной t находим:

(M,P)+

= ;

В результате получим ИУ относительно .Это ИУ может быть решением сведено к СЛАУ с комплексными коэф. Решая это СЛАУ находим изображение после чего с помощью интеграла Неймана, находим оригинал.

Вопрос 40) Электро магнитные колебания в объемном резонаторе

Радиус цилинда b.

Объёмном резонатором называют цилиндрическую полость с хорошо проводящими стенками.Внутнри этой полости возможны существования пременного магнитного пол колеблющегося вокруг мембраны.Существуют различные способы возбуждения этого поля.Из-за рассеивания энергии поля в стенках ЭМ колебания в резонаторе затухающие ,однако если стенки цилинда хорошо проводящие (например покрыты серебром) то колебания существуют достаточно долго и затуханием можно принебречь, конфигурации колебаний тоже могут быть разнообразными-простейшими являются синусоидальные режим, когда поле в каждой точке резонатора.

Такими режимы называют собственными режимыми резонатора среди собственных режимов цилиндрического резонатора простейшими являются цилиндрические-симметричные.

= E(r,t);

= B(r,t);

= E(r)sin( ;

= B(r) sin( ;

достаточно найти одно из этих полей ,тогда второе из ур-ий Максвела

rot =i

Поле удовлетворяет однородному волновому ур-ию и однородным краевым условиям.Для комплексной амплитуды Е имеем ур-е Гельмгольца которое в цилиндрических координатах имеет вид:

{ ; ур-ие в проекции на ось z

{ ;

Это ур-ие Бесселя 1-го рода 0 порядка.Его общее решение:

(r)=C₁J₀(k,r)+C₂J₀(k,r); Поскольку отыскивается ограниченное решение то С₂ следует положить =0 в результате имеем:

(r)=C₁J₀(k,r) J₀(k,r); удовлетворяет граничным условия находим частоты колеблющегося поля:

J₀(rb)=0;

; -корни ур-ия J₀( =0;

итак в резонаторе возможны колебания только с частотами .Главная частота соотв. наименьшему значению

; из таблицы находим =2,4

Произвольное колебание поля в резонаторе, вызванное конкретными начальными условиями можно вычислить в виде ряда по собственным режимом резонатора

;