Вопрос 20)Фундамент р-ние ур-ния тепло-сти в своб. Пр-ве.

ОПРЕД: Фундаментальное решение ур-ия тепло-сти в свободном пр-ве назыв:

1) Р-ние одномерн. однород. ур-ния тепло-сти убыв на .

2) Циллиндрич симметр реш ур-ния тепло-сти убыв на .

3) Сферич симметрич решен ур-ния тепло-сти убыв на .

Эти фунд реш удовлетв след з-че с нач условиями:

Здесь - дельта ф-ция координат.

-----------Вычислим фундамент решения T=T(x,t)---------

Эту з-чу удобно решить методом преобраз Лапласа. Сопоставляя всем ф-циям времени их преобраз Лапласа, получим:

Будем искать симметрчн реш этого ур-ия вида:

Достаточно найти реш на оси (0,), сформулировав краев условия в т. x=0. Для этого проинтег ур-ие от до :

Устремляя в последнем соотношении и учитыв непрер , получим краев условия в т. x=0:

. Итак для построения ф-ции T(x,p) на полож полуоси необходимо:

т.к. ищется убывающее решение, то ,

По справочникам находим оригинал:

- фундамент реш.

Анолог-но вычисл фунд реш в цилиндр и сферич коор:

Фундаментальное реш используется для постороения интегральных представлений решений нач краев задач.

Вопрос 35)свободны колебания прямоугольной мембраны

Пуст колебания осуществляются за счет не нулевого начального отклонения и не нулевой начальной скорости, тогда начально кравевая задача для мембраны имеет вид:

{ ϕ-(1/a²)*{ ²ϕ/ t²}=0;

{ϕ(M,t)|_{M L}=0;

ϕ(M,0)=ϕ₀(M) (M,0)=ϕ₁(M); в соответствие с методом фурье базисное решение будем искать в виде;

ϕ_k(M,t)=U_k(M) T_k(t); При этомдля U имеем следующую задачу штурма лиувилля

{ U+λ²_kU=0;

{U|_L=0; Решение этой задачи построим методом Фурье U=X(x)Y(y); представляем это решение в ур-ие, и разделяя переменные получим следующее ОДУ

xʹʹ+αx=0;

yʹʹ+βy=0;

для X и Y удов. краевым условиям

X(x)=C₁cos√[α]x+C₂sin√[α]x;

Y(y)=C₃cos√[β]y+C₄sin√[β]y; удовлетворяя краевым условиям находим

С₁=0; sin√[α]d=0 следоват.α_k=(k /d)²; k=1,2,3..

удовлетворяя краевым условиям по у находим:

C₃=0; sin√[β]b=0 следоват.β_k=(k /b)²; k=1,2,3..

λ_kn=α_k+β_n; Решение задачи Штурма Лиувиля

U_kn=sinα_kx*sinβ_ny; Суммируя по к и n базисные решения построим общее решение исх.задачи

ϕ(M,t)= _kncosλ_knat+B_knsinλ_kna]U_kn(M);

удовлетворяя начальным условиям находим А_kn B_kn

ϕ₀(x,y)= _knU_kn(M) /

ϕ₁(x,y)= _kn*a_*B_kn*U_kn(M) /U_ij

умножая левые и правые части этих соотношений на U_ij интегрируя результат по х и у используя ортогональность соотв.ф-ий

A_kn= ;

B_kn= ;

Замечание :для того что бы построенный ряд был решением задачи необходимо его сходимость.

Вопрос 36)Рассчитать свободные колебания круглой мембраны радиуса b, обусловленной не нулевым начальным отклонением и начальной скоростью. Повторить все в полярных координатах

Ур-ия описывающие малые колебания этой мембраны имеют вид:

{ 0;

{ϕ(b,t)=0; ϕ(r,α,0)=ϕ₀(r,α);

{ =ϕ(r,α);

{ϕ(r,α,t) ;

для построения решения этой задачи необходимо решить вспомогательную задачу штурма лиувиля:

;

если разложить в ряд Фурье-Бесселя ф-ии ϕ₁(t), поэтому коэф А_к вычисляются по установившийся выше формуле:

A_k= ;