Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления для изображения чисел используют только две цифры 0 и 1.

С помощью двоичных кодов можно кодировать и хранить в памяти ЭВМ любую алфавитно-цифровую информацию. Каждому символу присваивается свой код. С помощью кода, состоящего из n- разрядов, можно закодировать (представить) 2ⁿ различных символов.

Информация хранится в байтах. 1 байт – 8 бит – т.е. для кодирования используется восьмиразрядный двоичный код.

Основанием двоичной системы является число 2.

101₍₂₎=1*2²+0*2¹+1*2⁰=4+0+1=5₍₁₀₎

101₍₂₎ => 5₍₁₀₎

(Любое число в 0-ой степени равно 1)

Таблица 2.Арифметические операции в двоичной системе счисления.

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0=0	0-0=0	0*0=0
1+0=1	1-0=1	1*0=0
0+1=1	0-1=1	0*1=0
1+1=10	1-1=0	1*1=1

При сложении двух чисел, равных 1, в данном разряде получается 0, а 1-ца переносится в старший разряд.

Например:

101

+ 11

1000

Где 101_{(2 )}=> 5₍₁₀₎ , 11_{(2 )}=> 3₍₁₀₎ , 1000₍₂₎ => 8₍₁₀₎

Действительно: 5+3=8

При вычитании из 0 единицы, занимается единица из старшего ближайшего разряда, отличного от 0. При этом, единица занятая в старшем разряде, дает 2 единицы в младшем разряде и по единице во всех разрядах между старшим и младшим.

Например:

101

- 11

10

Где 101₍₂₎=>5₍₁₀₎ , 11₍₂₎=>3₍₁₀₎ , 10₍₂₎=>2₍₁₀₎

Действительно: 5-3=2

Операция умножения сводится к многократному сдвигу и сложению.

11

* 10

00

11

110

Где 11₍₂₎=>3₍₁₀₎ , 10₍₂₎=>2₍₁₀₎ , 110₍₂₎=>6₍₁₀₎

Действительно: 3*2=6

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Запись двоичных чисел достаточно длинна, операции над ними – утомительны. Для краткости записи двоичной информации используются системы с большим основанием. Главным требованием, предъявляемым к этим системам, является то, что перевод из этих систем в двоичную и обратно, должен быть достаточно кратким, т.е. эти системы и двоичная должны быть в некотором смысле эквивалентны.

Таковыми являются восьмеричная и шестнадцатеричная системы (см. Таблица1.)

В 8-ой системе для изображения чисел используют 8 цифр: 0-7.

Основанием системы являются число 8. Для перевода чисел из 2-ой системы счисления в восьмеричную, достаточно разбить двоичное число на триады (по три) двигаясь влево и вправо от десятичной точки.

11110 . 00101₍₂₎=36 . 12₍₈₎

К крайним группам добавляются нули для дополнения их до трех разрядов.

8=2³ – отсюда триады

В 16-й с/с для изображения чисел используется 16 символов: 10 цифр и 6 букв латинского алфавита: А, B, C, D, E, F. Основание системы – число 16.

16=2⁴ – для преобразования двоичного числа в 16-ричное, нужно разбить его на тетрады (по четыре), двигаясь влево и вправо от десятичной точки. К крайним группам нули добавляются до 4 разрядов.

1111 0101 . 1000 111₍₂₎=F5 . 8E₍₁₆₎

и обратно:

6ЕА . 4₍₁₆₎=110 1110 1010 . 0100₍₂₎

Использование 8-ой или 16-ой систем счисления позволяет уменьшить в 3 или 4 раза количество разрядов для записи чисел.