Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную, необходимо разложить это число по степеням основания этой системы.
Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую.
Для перевода чисел из десятичной с/с в любую другую, необходимо делить десятичное число на основание системы, в которую переводят, сохраняя при этом остатки от каждого деления.
Результат формируется справа налево. Деление продолжается до тех пор, пока результат деления не станет меньше делителя.
Примеры.
1. Перевести число 13 из десятичной системы счисления в двоичную систему:
13 |
2 |
|
|
|
|
12 |
6 |
|
2 |
|
|
1 |
6 |
|
3 |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
13(10) => 1101(2)
2. Перевести число 13 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему:
13 |
8 |
|
|
|
|
8 |
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13(10) => 15(8)
3. Перевести число 638 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему:
638 |
16 |
|
|
|
|
4 |
39 |
|
16 |
|
|
158 |
3 2 |
|
2 |
|
|
144 |
7 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
8
638(10) => 27E(16)
Остатки записываются в шестнадцатеричном виде (14 => Е).
4. Сложение двоичных чисел.
11011001(2)
+ 1011101(2)
100110110(2)
Максимальное целое число, которое может быть представлено в т разрядах:
N
=P
-1
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в s разрядах дробной части:
N
=P
Имея в целой части числа т, а в дробной s разрядов, можно записать всего Pm+S разных чисел.
В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:
естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);
нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).
С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной.
Пример
+00721,35500; +00000,00328; -10301,20260.
В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.
С плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая — порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок — целым числом. В общем, виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:
N = ± MP±r,
где М — мантисса числа (\М\ < 1);
г - порядок числа (г — целое число);
Р — основание системы счисления.
Пример
Приведенные в предыдущем примере числа в нормальной форме запишутся так: +0.721355*103; +0,328*10-2 ;–0,103012026*105.
Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.
Для алгебраического представления чисел (т.е. для представления положительных и отрицательных чисел) в машинах используются специальные коды: прямой, обратный и дополнительный. Причем два последних позволяют заменить неудобную для ЭВМ операцию вычитания на операцию сложения с отрицательным числом; дополнительный код обеспечивает более быстрое выполнение операций, поэтому в ЭВМ применяется чаше именно он.
Двоично-десятичная система счисления получила большое распространение в современных ЭВМ ввиду легкости перевода в десятичную систему и обратно. Она используется там, где основное внимание уделяется не простоте технического построения машины, а удобству работы пользователя. В этой системе счисления все десятичные цифры отдельно кодируются четырьмя двоичными цифрами (табл. 8) и в таком виде записываются последовательно друг за другом.
Таблица 1 Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр
Цифра |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
А |
В |
с |
D |
Е |
F |
Код |
0000 |
0001 |
0010 |
0011 |
0100 |
0101 |
0110 |
0111 |
1000 |
1001 |
1010 |
1011 |
1100 |
1101 |
1110 |
1111 |
Пример
Десятичное число 9703 в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001011100000011.
При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост — выполняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы).
Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы А = 10, В = 11, С = 12, D = 13, Е= 14, F = 15.
Пример
Шестнадцатеричное число F17B в двоичной системе выглядит так: 1111000101111011.
Варианты представления информации в ПК
Вся информация (данные) представлена в виде двоичных кодов. Для удобства работы введены следующие термины, обозначающие совокупности двоичных разрядов (табл. 9). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в ЭВМ.
Таблица 2 Двоичные совокупности
Количество двоичных разрядов в группе |
1 |
8 |
16 |
8*1024 |
8*10242 |
8*10243 |
8*10244 |
Наименование единицы измерения |
Бит |
Байт |
Параграф |
Кило-байт (Кбайт) |
Мега-байт (Мбайт) |
Гига-байт (Гбайт) |
Терабайт (Тбайт) |
Коды ASCII
ASCII-код для представления символьной информации.
Код ASCII (American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией) имеет основной стандарт и его расширение (табл. 10).
Таблица 3 Таблица кодов ASCII
Основной стандарт для кодирования символов использует шестнадцатеричные коды 00 - 7F, расширение стандарта — 80 - FF. Основной стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов, цифр и букв латинского алфавита; в расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национального алфавита (естественно, в разных странах разные).