2.Фільтрування Вступ

Процесом фільтрування називають розділення суспензій або пилу за допомогою пористої перетинки - фільтру, що може затримувати завислі частинки, що знаходяться в рідині або газі.

Перевагою фільтрування над осадженням є те, що воно може забезпечити майже повну очистку рідини або газу від завислих частинок.

Розрізняють фільтрування з откладенням осаду і фільтрування з забивкою пор фільтру.

Рушійною силою процесу фільтрування є різниця тисків перед фільтром і після нього. Інколи ця різниця створюється і відцентровими силами. Відповідно розрізняють фільтрування під дією перепаду тиску і відцентрове фільтрування.

2.1 Кінетика фільтрування.

Під час фільтрування поток рідини проходить через фільтр. Кожен фільтр можна розглядати як шару зернистого матеріалу, частинки котрого можуть бути скріплені. Незалежно від цього пустоти між частинками (або пори) утворюють канали неправильної форми, по котрим рухається потік фільтруючої рідини, (рис.2.1.1).

Рис.2.1.1. Характер потоків фільтруючої рідини.

Виведення рівняння Нав'є – Стокса .

Виділимо в потоці рідини, що рухається по каналу, елементарний паралелепіпед з ребрами dx,dy,dz (рис.2.1.2). На цей елемент діють три сили: сила тяжіння, сила тиску і сила тертя.

Рис. 2.1.2. До виведення диференційного рівняння руху в'язкої рідини ,що не стискується

. Сила тяжіння може бути визначена з виразу :

G=gdxdydz

де р- густина рідини;

g- прискорення вільного падіння.

V=dxdydz ,

де V-обєм паралелепіпеда .

Силу тиску можна знайти з наступних міркувань. Гідростатичний тиск в даному випадку змінюється вздовж вертикальної вісі. Нехай на верхній грані значення тиску р, тоді на верхню грань діє сила:

P =pdydz (Рис.2.1.2..б). Тиск біля нижньої грані елемента рівний :

т ому сила тиску рівна:

(2.1.1.)

Результуюча цих сил і буде силою тиску, що діє на елемент:

Силу тертя виразимо виходячи з припущень про плоско-паралельний рух потоку. В цьому випадку локальні швидкості руху частинки в потоці W_X (рис. 2. 1.2. б) змінюються лише в напрямку вісі у, а тертя виникає лише на бічних гранях AB і CD. Біля грані AB швидкість руху рідини менше, ніж швидкість руху виділеного елементу, тому сила тертя напрямлена проти руху. Якщо силу тертя, віднесену до одиниці поверхні, позначити через s, то сила тертя, що діє на грань AB, буде S=sdxdz .

Б іля грані CD швидкість руху частинок більша , за швидкість руху елемента, і силу тертя, напрям котрої співпадає з напрямом руху елемента, можна виразити як

(2.1.2)

Результуюча зазначених сил і є сила тертя, що діє на елемент потоку рідини:

З гідно закону Ньютона-Петрова :

Тому силу тертя можна виразити як :

Н

(2.1.4)

а основі другого закону механіки (рівнодіюча сила дорівнює масі, помноженій на прискорення) для даного випадку запишемо:

це диференційне рівняння для рівномірного сталого руху незріджуючої в'язкої рідини. ,що не стискується .

Для випадку трьохмірного несталого руху в'язкої рідини ( =const ),що не стискується отримують більш складні рівняння, але структура їх зберігається:

(2.1.6)

Рівняння (2.1.6) руху в"язкої рідини , що не стискується називають рівняннями Нав"є-Стокса.Де похідні DW_X/d , DW_Y/d , DW_Z/d в лівій частині р.івняння (2.1.6) являють собою повні похідні швидкості по часу:

(2.1.7.)

Перші члени доданків правих частин рівнянь (2.1.7) визначають локальні зміни складових швидкості у часі. Три останні доданки правих частин рівнянь враховують переміщення елементу рідини з однієї точки простору в іншу.

Велечини g_Х,g_У,g_Z- складові рівняння вільного падіння в напрямку окремих вісів координат.

С

(2.1.8.)

имволом V² (набла) позначений оператор Лапласа, що є сума других похідних:

Отримання чисел подібності з диференційного рівняння для рівномірного сталого руху рідини ,що не стискується .

В зв’язку зі складністю аналітичного розв’язку вищеприведених систем рівнянь ,використаємо

рівняння подібності руху рідини .

В сі члени рівняння (2.1.5) мають розмірність сили, що віднесена до об’єму. Дляприведення рівняння до безрозмірного виду розділимо всі його члени на ,в результаті отримаємо:

(2.1.9)

Кожен доданок лівої частини рівняння (2.1.9) безрорзмірний. З них можна отримати числа подібності. Для цього викреслимо символи диференціювання і символи, що характеризують напрям (заміна х і у не орієнтованим в певному напрямку лінійним розміром ) .

1

(2.1.10)

). З першого доданку отримаємо число Фруда, яке характеризує відношення сил тяжіння до інерційних сил:

2). З другого доданку отримаємо число Ейлера, що характеризує відношення сил тиску в потоці до інерційних сил:

3

(2.1.12)

). Третій доданок дає величину ,зворотню числу Рейнольдса :

Ч

(2.1.13.)

исла Re,Eu ,Fr отримані з рівнянь Нав’є-Стокса (2.1.6). Крім цього з цих рівнянь додатково можна отримати число гомохронності, що враховує несталий характер руху в подібних потоках:

В рівняння подібності, що описує рух потоку фільтруємої рідини,не вводиться число Фруда,оскількипри фільтруванні сили тяжіння настільки малі в зрівнянні з силами тиску та тертя, що ними можна знехтувати.Для устаткованного режиму в рівняння подібності невводиться критерій гомохронності. Крім того,в рівняння подібності вводять параметричний критерій l/d_ек ,який характеризує геометричні особливостісистеми.яка розглядається.

Р

(2.1.14.)

івняння подібності, що описує рух потоку фільтруючої рідини, наводять в наступному вигляді:

Знаходження швидкості осадження на основі рівняння подібності

В рівнянні подібності:

(2.1.14.)

Eu=cReⁿ(l /d_ЕКВ)^m

Число Рейнольдса введене в рівняння як визначальне тому ,що при аналізі процесів фільтрування зазвичай виходять з фізичних властивостей рідини, її швидкості і лінійних розмірів системи.

Д

(2.1.15)

ля ламінарної області (Rе < 35) залежність (2.1.14) має вигляд (2.1.15), а для турбулентної області (70 < Rе < 7000) - вид (2.1. 16):

(2.1.16)

В рівняннях (2.1.15) та (2.1.16) в якості визначального розміру прийнято еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу, а швидкість потоку віднесена до суми перерізів каналів - так званому вільному перерізу.

Рух потоку рідини при фільтруванні зазвичай ламінарний, що дозволяє використовувати рівняння (2.1.15).

П

(2.1.17)

ерепишемо рівняння (2.1.15) уявному вигляді:

і виразимо в ньому еквівалентний діаметр шару зернистого матеріалу d_ек, через діаметр зерен (частинок)d_з. Для цього скористаємось співвідношенням (2.1.18), що визначає еквівалентний діаметр каналу будь-якої форми.

Для шару зернистого матеріалу рівняння (2.1.16), може бути представлене у вигляді (2.1.19)

(2.1.18),

(2.1.19)

д е f-площа вільного поперечного перерізу каналу,

u-повний змочений периметр каналу,

-доля постот в шарі зернистого матеріалу,або коефіцієнт вільного обєму,

-питома поверхня зерен, т.б. поверхня зерен,що знаходяться в одиниці обєму шару.

Коефіцієнт вільного обєму можна вважати чисельно рівним коефіцієнту вільного перерізу – долі вільних площин в перерізі шарі зернистого матеріалу.

В

(2.1.21)

раховуючи,що F_з/V_з (2.1.20), де F_з і V_з-відповідно поверхня і обєм зерен ,для частинок правильної сферичної форми отримаємо співвідношення (2.1.21),а для частинок неправильної форми –(2.1.22):

(2.1.22)

де Ф –коефіцієнт,що враховує форму частинки.

Введемо замість швидкості в каналах W швидкість W_f ,віднесену до загальної площі фільтру:

W_f=W (2.1.23)

Зробивши заміни в рівнянні (2.1.17),отримаємо:

(2.1.24)

П ри інших рівних умовах швидкість фільтрування прямопропорційна квадрату діаметр? зерен, що складають фільтруючий, шар обернено пропорційна в'язкості рідини.