5 Обратная матрица

5.1 Определение. Вычисление обратной матрицы

^{Мы познакомились с определителем квадратной матрицы, можем теперь ввести еще одну характеристику квадратной матрицы. Пусть A – квадратная матрица порядка n.}

^{Матрица B называется обратной к матрице A, если выполняются условия .}

^{Обратную матрицу к A обозначают A–1. Возникают два вопроса: любая ли квадратная матрица имеет обратную и как вычислять A–1, если она существует? На первый вопрос дает ответ теорема.}

^{Теорема. Матрица A имеет обратную A–1 тогда и только тогда, когда A – невырожденная, .}

^{Действительно, так как , то , и если существует A–1, то и . С другой стороны, если , то можно построить A–1.}

^{Есть два способа построения обратной матрицы. Опишем их.}

^{Способ 1 (с помощью алгебраических дополнений)}

^{1°. Вычислим определитель матрицы .}

^{2°. Для каждого элемента вычислим алгебраическое дополнение .}

^{3°. Составим из алгебраических дополнений матрицу :}

^{4°. Транспонируем матрицу А:}

^{Матрицу называют присоединенной к матрице A.}

^{5°. Разделим все элементы присоединенной матрицы на . Полученная матрица есть обратная, .}

^{Пример. Найти матрицу, обратную к .}

^{1°. .}

^{2°. .}

^{3°. .}

^{4°. .}

5°. .

Убедимся, что полученная матрица искомая:

.

Способ 2 (методом Гаусса)

1°. Припишем справа к матрице A единичную матрицу того же порядка:

2°. Дополним набор элементарных преобразований (определенных ранее) еще одним преобразованием – умножением (делением) строки на число.

С помощью элементарных преобразований приведем матрицу сначала к ступенчатому виду, причем, преобразования совершаем с «длинной строкой». Ступенчатая форма матрицы A будет треугольной матрицей с угловыми элементами, отличными от нуля (так как ). Продолжая преобразование, добьемся того, чтобы слева оказалась единичная матрица Е, тогда справа окажется обратная матрица .

Пример

Итак, .

Проверкой убедимся, что (проверьте самостоятельно).

5.2 Правило Крамера

Рассмотрим неоднородную систему уравнений с невырожденной матрицей A :

.

Такая система, как уже говорилось, имеет единственное решение. Запишем систему в матрично-векторной форме . Для матрицы A существует A^–1, умножим матричное уравнение слева на A^–1:

Из последнего равенства видно, что решение можно получить, умножив матрицу A^–1 на вектор правых частей .

Пример. Найти решение системы

;

; .

Рассмотренный способ решения систем линейных уравнений фактически является правилом Крамера для решения систем.

Теорема Крамера. Система , где , имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам:

,

где получается из определителя заменой i-го столбца на столбец свободных членов ( ).

Пример. Найти решение предыдущей системы методом Крамера.

1.

2.

.

6 Применение линейной алгебры к задачам экономики

6.1 Простейшие экономические задачи. Модель «затраты–выпуск»

В этой главе мы расскажем о некоторых применениях линейной алгебры в прикладных задачах.

Большинство таких задач сводится к решению (и исследованию) систем линейных уравнений. Изученный нами метод Гаусса и его различные модификации являются самыми распространен-ными и «экономными» методами решения систем линейных уравнений.

Даже в простейших экономических приложениях и в бизнесе запись данных в табличной (матричной) форме облегчает их обработку на компьютере и дает наглядное представление о резу-льтатах работы.

Рассмотрим пример.

Четыре покупателя купили следующее количество фруктов, записанное в столбцах матрицы A:

В столбцах матрицы A указаны количества яблок, груш и слив, купленных первым, вторым, тре-тьим и четвертым покупателями, соответственно. Вектор цен в рублях определяет вектор .

Пусть мы хотим определить, сколько потратил каждый покупатель денег, какое количество каждого вида фруктов продано, какова суммарная стоимость всех продуктов.

Найдем произведение вектора цен на матрицу A:

.

Здесь число 19 есть скалярное произведение вектора цен на вектор «покупок» первого покупателя и равно стоимости продуктов, приобретенных первым покупателем; 14, 6, 24 – стоимость фруктов, приобретенных вторым, третьим и четвертым покупателем, соответственно.

Введем вектор-столбец с координатами 1, 1, 1, 1:

Тогда произведение определяет количество каждого вида фруктов, купленного всеми покупателями:

Наконец, скалярное произведение представляет собой суммарную стоимость всех продуктов:

Рассмотрим более общую модель «затраты – выпуск». Пусть имеем предприятие, выпускающее n видов продукции в количествах , соответственно.

Вектор называют планом выпуска.

Предприятие расходует m видов ресурсов, имеющихся в ограниченных количествах , соответственно.

Вектор называют вектором ресурсов.

Обозначим – количество i-го ресурса, необходимого для производства единицы j-го про-дукта, . Числа образуют технологическую матрицу и называются рас-ходными коэффициентами; эти коэффициенты известны:

Матрицу A называют также матрицей расходных коэффициентов. Подсчитаем , расход i-го ресурса при выполнении плана . Он составит величину .

Если обозначить вектор расходов ресурсов , то

Можно рассматривать модель, когда расходы не превышают запасы, т.е. (или ); тогда должна выполняться система неравенств :

Можно потребовать, чтобы расходовались все имеющиеся ресурсы (чтобы не заводить складских помещений). Тогда , т.е. выполняется система уравнений . Рассмотрим этот последний вариант, задача в этом случае ставится так: задана матрица расходных коэффициентов A и, конечно, запасы ресурсов . Требуется определить план выпуска такой, что .

Все сводится к решению неоднородной системы уравнений. Но система уравнений не всегда имеет единственное решение (а иногда вообще не совместна), кроме того, нас интересуют планы выпуска , т.е. . Нахождение такого решения является непростой задачей.

Простой является задача: дан план , найти расход ресурсов . Тогда для ее решения надо матрицу A умножить на :