9 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 5

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Приводим исходную матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду

2

Подсчитываем число K, равное числу перес-тановок строк при приведении к ступенчатому виду

K = 1, строки переставляли один раз

3

Вычисляем определитель ступенчатой матрицы как произведение элементов главной диаго-нали, умноженное на множитель

Угловые элементы ступенчатой матрицы совпадают с элементами главной диаго-нали

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Найти определитель матрицы системы и убедиться, что матрица – невырожденная

Вычислим разложением по третьему столбцу:

существует

2

Найти обратную к матрице матрицу (любым способом)

Вычисляем с помощью алгебраических дополнений:

Присоединенная матрица :

.

Разделив на , получим

3

Найти вектор-решение по формуле

№

п/п

Новое понятие

Содержание

1

n-мерный вектор

упорядоченный набор из действительных чисел, обозна-чаемый

2

Пространство

множество всех -мерных векторов с покомпонентным сло-жением и умножением на скаляр

3

Скалярное произведение векторов и в пространстве

число, равное сумме попарных произведений одноименных координат, обозначаемое

4

Модуль вектора, или длина вектора

число, равное корню квадратному из скалярного квадрата вектора

5

Линейная комбинация векторов

вектор , полученный из векторов с помощью линейных операций, , – коэффициенты

6

Линейно независимая система векторов

система векторов, для которой лишь тривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору, т.е. из равенства следует

7

Ортогональная система векторов

система ненулевых векторов, попарные скалярные произ-ведения которых равны нулю: для всех

8

Базис в

такая линейно независимая система векторов, что каждый вектор из является линейной комбинацией этой системы

9

Разложение вектора по базису

представление вектора в виде линейной комбинации :

10

Координаты вектора в данном базисе

коэффициенты в разложении этого вектора по данному базису

11

Размерность пространства

число векторов базиса, равное , обозначается

12

Стандартный, или канонический, базис

базис, состоящий из векторов ; ; …;

13

Ортонормированная система векторов

система единичных по длине векторов, взаимно ортогональ-ных: , если ; , если

14

Подпространство V пространства

такое непустое подмножество векторов из ( ) , что линейные комбинации векторов подмножества V принад-лежат этому подмножеству. Иначе говоря, для любых чисел и ,

15

Ранг системы векторов

максимальное число линейно независимых векторов системы

16

Прямоугольная матрица порядка , обозначаемая

таблица из действительных чисел, где число m равно числу строк, а n – числу столбцов таблицы; коротко матрица обозначается

№

п/п

Новое понятие

Содержание

17

Элементы матрицы

числа , из которых состоит матрица, индексы опреде-ляющие положение элемента в матрице: – номер строки, – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент

18

Главная диагональ квадратной матрицы A

совокупность элементов с одинаковыми индексами

19

Симметричная матрица

квадратная матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны

20

Единичная матрица E

квадратная матрица, на главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:

21

Произведение квадратной матрицы A порядка n на квадратную матрицу B того же порядка n

квадратная матрица порядка , элементы которой вычисляются по формуле , ;

22

Ранг матрицы А

максимальное число линейно независимых строк, равное максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

23

Элементарные преобразования над строками матрицы А, переводящие ее в матрицу В

1) к одной строке матрицы А (к -й строке) прибавляется другая строка матрицы А ( -я строка), элементы которой умножены на число ; результат записывается в -ю строку матрицы В, а остальные строки матрицы В совпадают с соответствующими строками матрицы А:

, ;

2) две строки матрицы А меняются местами, при этом остальные строки матрицы А не меняются:

; ,

24

Ступенчатая матрица

матрица, обладающая следующим свойством: если в -й строке матрицы левее элемента стоят только нули ( – первый отличный от нуля элемент в -й строке), то левее и ниже этого элемента стоят только нули ( , если и )

25

Угловые элементы

первые ненулевые элементы строк в ступенчатой матрице (расположенные в «углах» ступенчатой матрицы)

26

Векторно-матричная запись системы линейных уравнений

запись системы в виде , где А — матрица коэф-фициентов при неизвестных, — вектор-столбец свободных членов (правых частей уравнений), — вектор-столбец неизвестных

27

Однородная система линейных уравнений

система уравнений , в которой вектор правых частей является нулевым, = =(0,0,…,0)

28

Неоднородная система уравнений

система, в которой хотя бы в одном уравнении справа стоит ненулевой элемент:

29

Решение системы

такой вектор , что при подстановке чисел в уравнение системы получаются верные равенства

№

п/п

Новое понятие

Содержание

30

Совместная система уравнений

система, у которой существует хотя бы одно решение

31

Несовместная система уравнений

система, у которой не существует решения

32

Критерий (необходимое и достаточное условие) совместности системы

равенство рангов основной и расширенной матриц системы

33

Общее решение системы в координатной форме

совокупность всех решений системы, записанная в парамет-рическом виде (параметры — свободные переменные)

34

Метод Гаусса для решения системы уравнений

метод, состоящий из прямого и обратного хода:

1) прямой ход метода Гаусса — приведение системы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями;

2) обратный ход — выбор свободных и несвободных переменных и получение формул общего решения

35

Фундаментальная система решений однородной системы

любой базис в пространстве решений однородной системы; размерность этого подпространства равна

,

где n — число переменных, r — ранг матрицы системы

36

Общее решение однородной системы в векторной форме

запись вектора решения в виде , где векторы — фундаментальная система реше-ний, — числовые коэффициенты

37

Общее решение неоднородной системы

решение, состоящее из суммы общего решения соответ-ствующей однородной системы и некоторого (любого) част-ного решения неоднородной

38

Частное решение системы уравнений

любое конкретное решение системы. Оно может быть получено из общего путем подстановки вместо свободных переменных (параметров) конкретных численных значений

39

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij

величина , где — определитель порядка , полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент

40

Определитель квадратной матрицы A n-го порядка

число, которое ставится в соответствие матрице и вычис-ляется по ее элементам (разложением по i-й строке матрицы): , ; и — алгебраическое дополнение к элементу

41

Вырожденная матрица

матрица, определитель которой равен нулю

42

Обратная матрица к матрице А

квадратная матрица , которая удовлетворяет условию ; обратная матрица существует тогда и толь-ко тогда, когда исходная матрица невырожденная,

43

Правило Крамера для решения определенной системы уравнений

формулы для вычисления координат вектора-решения: ; , — определитель, получен-ный из заменой -го столбца столбцом свободных членов

44

Комплексное число Z

выражение , где а,b — действительные числа, i — мнимая единица, определенная равенством

45

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

запись комплексного числа Z в виде , где — модуль комплексного числа, — аргу-мент, ,

46

Многочлен, или полином, степени n

функция вида , – числа (действительные или комплексные)

№

п/п

Новое понятие

Содержание

47

Корень многочлена

значение переменной x=a, при подстановке которой многочлен обращается в нуль:

48

Кратность корня многочлена

такое целое число K, что многочлен можно записать , где – многочлен, для которого x=a не является его корнем,