2.3 Ранг матрицы
Пусть
имеется некоторая матрица A
порядка
.
Очевидно, матрицу A
можно рассматривать
как систему
вектор-строк
,
каждая строка является вектором
ариф-метического пространства
.
Аналогично, обозначив j-й
столбец матрицы
,
матрицу A можно представить набором m-мерных векторов-столбцов:
Вопрос
о линейной независимости строк (столбцов)
матрицы A
сводится к определению ли-нейной
независимости векторов-строк в
пространстве
(векторов-столбцов в пространстве
).
Важнейшей характеристикой матрицы
является максимальное число ее линейно
независимых строк. Можно показать, что
оно равно максимальному числу линейно
независимых столбцов. Это общее число
называется рангом
матрицы A.
Таким образом,
–
ранг матрицы A
(rang A,
или rank A)
совпадает с рангом системы векторов-строк
(векторов-столбцов) (см. 2.2).
Пример.
Определить ранг матрицы
.
Первая и вторая строки матрицы линейно
независимы, так как векторы
и
неколлинеарны (их координаты не-
пропорциональны), третья строка матрицы
является суммой второй и удвоенной
первой:
,
вектор
– линейная комбинация векторов
и
,
тройка векторов
,
,
линейно зависима. Максимальное число
линейно независимых строк матрицы A
равно двум, ранг
.
Ниже мы рассмотрим способ вычисления ранга матрицы.
2.4 Элементарные преобразования. Приведение матрицы к ступенчатому виду
Рассмотрим матрицу B:
Схематически эту матрицу можно изобразить следующим образом (рисунок 1).
Рисунок 1
Белое поле – это нули. Квадратики, закрашенные в черный цвет, – ненулевые элементы, поле со штриховкой – произвольные элементы (нулевые или ненулевые).
Матрицу
такого вида называют ступенчатой,
она обладает свойством: если
– первый ненулевой элемент
i-й
строки, то все элементы, стоящие в матрице
ниже и левее
– нулевые (
для всех
).
Такие элементы
(на рисунке 1 – черные квадратики)
называют угловыми
элементами.
Так, в нашем примере угловыми элементами
являются
.
Ступенчатый
вид матрицы
характеризуется тем, что первые r
строк содержат угловые элементы, а
остальные строки (если
)
– нулевые. Отметим, что «высота» ступеньки
всегда равна 1, а «длина» ее может быть
произвольной.
Утверждение. В ступенчатой матрице строки, содержащие «угловые» элементы (ненулевые строки), линейно независимы.
Отсюда следует, что ранг ступенчатой матрицы равен числу ее угловых элементов.
Возникает вопрос: нельзя ли с помощью преобразований, не меняющих ранга, привести произвольную матрицу к ступенчатому виду и легко вычислить ее ранг? Оказывается, можно. Такие преобразования называют элементарными.
Пусть
A
– матрица порядка
,
строки ее
.
Запись
означает, что матрица B
получена из A
элементарными преобразованиями. Матрица
B
остается матрицей того же порядка, что
и A,
строки ее обозначим
.
Опишем элементарные
преобразования, переводящие A
в B:
1)
перестановка строк: две строки матрицы
A
(i-я
и k-я)
меняются местами, а остальные строки
не меняются:
;
2)
к одной строке матрицы A
(i-й)
прибавляется другая (k-я,
),
умноженная на число
;
остальные строки, в том числе и k-я,
переписываются в
B
без изменения:
.
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Элементарные преобразования первого и второго типов не меняют ранга матрицы.
Теорема 2. Любую прямоугольную матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
Доказательство этой теоремы дает практический способ приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и называется методом Гаусса.
Рассмотрим
этот метод на примере матрицы
.
Алгоритм метода Гаусса
1°. «Загоним» в левый верхний угол ненулевой элемент с помощью перестановки строк. Для ручного счета удобно, чтобы этот элемент был равен 1 или –1 (если это возможно).
В нашем примере поменяем местами первую и вторую строки (преобразование первого типа):
.
В
дальнейшем первую строку менять не
будем. Теперь с помощью отмеченного
элемента (–1)
в левом верхнем углу (назовем его
«ведущим») образуем нули в первом столбце
под ним. Для этого ко второй строке
прибавим первую, умноженную на число
,
из третьей строки вычтем первую, а к
четвертой прибавим первую строку:
.
В дальнейшем первый столбец (как и первая строка) меняться не будет, их мысленно исклю-чим из преобразований.
2°. Алгоритм повторяется для оставшейся части матрицы меньшего порядка (отмечена пунктиром). Меняем местами вторую и третью строки и с помощью нового «ведущего» элемента 1, получим нули во втором столбце второй и третьей строк:
.
Здесь из третьей строки вычли вторую, умноженную на 5, а из четвертой – вторую, умножен-ную на 6.
3°. Действуя аналогично, получим ступенчатую матрицу
Угловые элементы – 1, 1, 1, их число равно 3.
Последовательность элементарных преобразований, приводящих матрицу A к ступенчатой форме B, и самый ступенчатый вид B неоднозначны. Однако число угловых элементов ступенчатой формы матрицы A не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду.
Число
угловых элементов в ступенчатой форме
матрицы A
равно рангу матрицы. В
нашем примере
.