6.2 Модель межотраслевого баланса (Леонтьева)
Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Эта модель называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя – русского ученого В. В. Леонтьева, который родился в 1906 г. в Петербурге, в 1925 году уехал за границу, в 1973 г. получил Нобелевскую премию за вклад в решение экономических проблем).
Рассмотрим такую модель. Пусть в национальной экономике имеется n отраслей промышленности. Каждая отрасль выпускает один продукт, который потребляют другие отрасли, в частности она сама; таким образом, часть выпуска каждой отрасли затрачивается для производства, другая часть предназначается для непроизводственного, или конечного, потребления (на личное и обществен-ное потребление и накопление).
Рассмотрим
процесс производства за некоторый
период времени, например за год, и введем
обозначения:
– общий (валовый) объем продукции i-й
отрасли;
– объем продукции i-й
отрасли,
потребляемый j-й
отраслью (
);
– объем конечного продукта i-й
отрасли для непроизводственного
потребления (
).
Все величины – в одних единицах, например в рублях. Вектор-план валового выпуска продук-ции всеми отраслями обозначим через :
.
Подсчитаем,
сколько единиц продукта i-й
отрасли потребляется другими отраслями
при плане
:
сумма
– часть выпуска
,
идущая снова в производство. Если к этой
величине прибавить
– часть валового выпуска, предназначенную
на непроизводственное потребление, то
получим общий объем продукции
:
(*)
Коэффициентами
прямых затрат
называют величины
.
Итак,
– затраты продукции i-й
отрасли на производство единицы продукции
j-й
отрасли. Как правило,
– постоянные,
т.е. не зависят от
и
(
еще называют технологическими
коэффициентами). Тогда имеет место
зависимость
.
Подставляя в систему уравнений (*), получаем систему уравнений, определяющую линей-ные балансовые соотношения:
.
В матричном виде эту систему запишем так:
,
где
– вектор валового выпуска,
– вектор конечного продукта, а матрица
A
– матрица прямых затрат, которая
составлена из технологических
коэффициентов
:
.
Основная задача межотраслевого баланса ставится так: дана матрица прямых затрат A и вектор конечного продукта ; найти вектор валового выпуска , который является решением системы уравнений .
Перепишем
последнее равенство в виде
или
(**)
где Е – единичная матрица.
Если
матрица
– невырожденная, т.е.
,
тогда существует обратная матрица
.
Умножим (**)
слева на
,
получим вектор-решение:
.
В соответствии
с экономическим смыслом оба вектора
и
должны иметь
неотрицательные координаты:
(т.е.
).
Кроме того, элементы матрицы A
тоже неотрицательны:
.
Матрицу
называют матрицей
полных затрат.
Не
для всякой матрицы A
и неотрицательного вектора
существует неотрицательный вектор-решение
уравнения (**).
Матрица A
называется продуктивной,
если для любого вектора
существует вектор
,
являющийся решением основной задачи
межотраслевого баланса
.
Конечно, если матрица
существует и имеет неотрицательные
коэффициенты, то вектор-решение
тоже существует и имеет неотрицательные
координаты для любого вектора спроса
,
т.е. A
– продуктивна. Другой, более тонкий
критерий продуктивности матрицы A,
не требующий вычисления
,
состоит в следующем: если A
– матрица с неотрицательными элементами
и для любого j-го
столбца выполнено
,
причем существует столбец с номером
,
для которого сумма его элемен-тов строго
меньше единицы
тогда матрица A
продуктивна.
Составление и исследование системы уравнений межотраслевого баланса является сложной и трудоемкой задачей. Во-первых, потому, что определение чисел требует практического умения и экспериментального исследования; во-вторых, потому, что для хорошего описания сложной экономической системы приходится иметь дело с матрицами большой размерности (американская экономика использует в настоящее время матрицы приблизительно размером 450×450).