2.2 Действия над матрицами

На множестве матриц определены следующие операции.

Сложение. Суммой двух матриц и одного порядка называется матрица того же порядка, , элементы которой .

Из определения следует, что (коммутативность сложения) и (ассоциативность операции сложения).

Умножение на число. Произведением матрицы на число называется матрица , где (для всех ).

Отсюда следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы:

.

Операция умножения матрицы на число обладает свойствами:

,

где – числа.

Транспонирование матрицы. Пусть матрица А порядка

.

Составим новую матрицу по правилу: первую строку матрицы запишем в первый столбец , вторую строку А – во второй столбец , третью строку А – в третий столбец , тогда

,

порядок равен .

Такая операция называется транспонированием матрицы А. Транспонированную матрицу бу-дем обозначать или .

Таким образом, матрица порядка называется транспонированной к матрице порядка , если для всех .

Для квадратной матрицы операция транспонирования равносильна отражению элементов относительно главной диагонали. Очевидно, для симметричной матрицы .

Умножение матриц. В нашем курсе не придется сталкиваться с умножением прямоугольных матриц. Поэтому мы рассмотрим операцию умножения матриц в двух частных случаях.

1. Произведение матрицы на вектор.

Пусть матрица A имеет порядок и вектор :

.

Произведение есть вектор :

,

координаты вектора вычисляются по формулам:

Если обозначить i-ю вектор-строку матрицы то i-я компонента вектора есть скалярное произведение на вектор Подчеркнем, что для умножения матрицы А на вектор число столбцов матрицы А (число ) должно совпадать с числом координат вектора , а новый преобразованный вектор имеет столько координат, сколько строк у матрицы A, т.е. m.

Определим также произведение вектор-строки на матрицу , имею-щую n строк (равное числу координат вектора ) и m столбцов:

,

где результат – вектор-строка – имеет координаты, вычисляемые по формулам:

, .

Пример. Найти произведение матрицы A на вектор :

Заметим, что , а строки матрицы A – тоже трехмерные векторы. Результатом будет вектор из пространства :

,

где

Итак, .

При умножении матрицы A на вектор будем говорить, что матрица A преобразует вектор в вектор .

2. Умножение квадратных матриц (одного порядка).

Пусть А и В – квадратные матрицы порядка . Произведением называется квадратная матрица С того же порядка :

,

элементы которой вычисляются по формуле

.

Таким образом, для получения элемента нужно взять в первой матрице A ее i-ю вектор-строку, во второй матрице B взять j-й вектор-столбец и найти их скалярное произведение:

.

Коротко, , где символ означает суммирование по индексу .

Пример. Найти произведение матрицы A и B.

Решение

Итак, .

Отметим важное свойство операции умножения матриц. В отличие от умножения чисел резу-льтат умножения матриц зависит, вообще говоря, от порядка сомножителей. Свойство переста-новки сомножителей при умножении матриц отсутствует, т.е. операция перемножения матриц не коммутативна.

Пример. Пусть , найти AB и BA.

Решение

;

Матрицы A и В, для которых , называются перестановочными.

Произведение чисел равно нулю только в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Произведение матриц не наследует это свойство. Более того, возможно, что , хотя A не совпадает с 0-матрицей .

Пример. , найти .

Решение

.

Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица Е, она выполняет роль числа единицы при умножении чисел , т.е. умножение числа на единицу не меняет числа.

Легко проверить, что среди матриц только Е обладает эти свойством (единица одна!): причем матрица Е перестановочна с любой квадратной матрицей того же порядка.

С введением операции умножения матриц появляется возможность рассматривать возведение матрицы в степень: .