3.3 Неоднородные системы

Мы научились находить общее решение однородной системы. Перейдем теперь к неоднород-ным системам. Процедура получения общего решения (в координатной и векторной формах) для них будет похожей.

Пусть дана система или в координатной форме

.

Соответствующая этой системе однородная система имеет ту же матрицу системы , а вектор правых частей , т.е. .

Справедливо следующее утверждение.

Пусть – некоторое частное решение неоднородной системы , а – решение соответствующей однородной системы. Тогда вектор будет решением неоднородной системы. Действительно, .

Это означает, что к решениям однородной системы можно прибавить решение неоднородной системы, в результате получим решение неоднородной системы.

Чтобы получить общее решение неоднородной системы, нужно к общему решению соответ-ствующей однородной системы прибавить некоторое частное решение неоднородной.

В отличие от однородной системы неоднородная не всегда совместна, поэтому прежде чем находить решение системы необходимо выяснить вопрос, существует ли хотя бы одно реше-ние, т.е. совместна ли система. Ответ на этот вопрос дает теорема Кронекера Капелли (критерий совместности неоднородной системы): система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы A равен рангу расширенной матрицы .

Рассмотрим метод Гаусса для решения неоднородной системы уравнений на примере системы

Прямой ход метода Гаусса

1. Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Здесь , система совместна.

2. Запишем эквивалентную ступенчатую систему:

Переменные являются зависимыми, а – свободной переменной.

Обратный ход метода Гаусса

1. Выразим зависимые переменные через свободные. Запишем общее решение неоднородной системы в координатной форме.

Выразим переменные через свободную переменную :

(*).

Полученные равенства задают общее решение исходной системы в координатной форме. Заметим, что для получения общего решения однородной системы нет нужды повторять заново всю процедуру. Достаточно в формулах (*) заменить свободные члены нулями. Получим общее решение однородной системы в координатной форме:

(**).

Размерность подпространства V решений однородной системы , а значит, ФСР содержит лишь один вектор. Найдем его из равенств (**), придавая свободной переменной любое, отличное от нуля значение, например, пусть , тогда , , и базисный вектор .

Общее решение однородной системы в векторной форме выглядит так: , здесь С – произвольная постоянная (сокращение «оо» означает общее «однородного»).

Остается найти частное решение неоднородной системы. Для этого в формулах (*) свободной переменной придадим произвольное (например нулевое) значение, получаем: .

Следовательно,

.

Итак,

– общее решение в векторной форме.

Пример

, ; ;

^,

Таким образом, ранги расширенной и основной матриц системы не равны, теорема Кронекера-Капелли не выполняется, система несовместна. Итак, всякое решение неоднородной системы ( – «общее неоднородной») есть сумма частного решения неоднородной ( ) и общего решения однородной ( ): , или , где - фундаментальная система решений (базис подпространства V решений однородной системы). Можно показать, что множество решений неоднородной системы не является подпространст-вом (проверьте это самостоятельно). Множество представляет собой сдвиг пространства V на произвольный вектор . Результат сдвига не зависит от выбора частного решения .

Говорят, что множество является «параллельным сдвигом» подпространства V. Понимать это нужно так: любой вектор – решение неоднородной системы – может быть получен по формуле соответствующим подбором постоянных .