7 Пример выполнения упражнения тренинга на умение № 4а

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Выписать матрицу коэффициен-тов при неизвестных и привести ее к ступенчатому виду

2

Выписать ступенчатую систему и определить ранг матрицы

.

Ранг матрицы равен 2, так как имеем два угловых элемен-та (подчеркнуты)

3

Сравнить ранг матрицы с числом переменных n и определить, ско-лько решений имеет система

; система имеет множество решений; пере-ходим к отысканию общего решения системы

4

Определить зависимые и свобод-ные переменные; переменные, со-ответствующие угловым элемен-там, объявляем зависимыми, а остальные – свободными

Так как угловые элементы в ступенчатой матрице явля-ются коэффициентами при переменных , то – зависимые, – свободные переменные

5

Выразить зависимые переменные через свободные

Из последнего уравнения получаем, что , затем, подставляя в первое уравнение, получаем выражение для :

.

Итак,

(*)

6

Найти общее решение системы, используя формулы (*), выража-ющие зависимые переменные через свободные

Формулы (*) задают общее решение системы. Давая пере-менным произвольные значения и вычисляя , получим все решения системы

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

7

Выписать общее решение в век-торной форме. Получить ФСР , записать общее реше-ние в виде

Число переменной , а ранг матрицы системы . Базис подпространства решения (ФСР) состоит из двух векторов . Дадим свободным переменным значения , получим вектор , если , . Для вычисления испо-льзуем формулы (*). – любые числа

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

1

Записать расширенную матрицу сис-темы, приписав к матрице коэф-фициентов вектор свободных членов:

2

Привести матрицу к ступенчатому виду и определить ранг основной матрицы rang(A) и ранг расширенной rang

rang(A) = 2, rang = 2

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

3

Исследовать систему на совместность. Если , система несовместна, если же , система совместна, имеет единствен-ное или бесчисленное множество решений

, система имеет решение; так как , где n – число переменных, то решение системы не единственное, переходим к нахождению общего решения (п. 4)

4

Определить зависимые и свободные переменные

Угловые элементы соответствуют переменным ; – зависимые переменные, – свободные пере-менные

5

Выразить зависимые переменные через свободные обратным ходом метода Гаусса

Выражаем переменные через :

6

Найти общее решение системы, ис-пользуя выражения зависимых пе-ременных через свободные и вектор свободных членов

Окончательно формулы, определяющие общее решение, имеют вид:

(*)

7

Получить единственное решение в случае

Здесь , система имеет не единственное решение, переходим к п. 8

8

Записать общее решение в векторной форме. Найти частное решение неоднородной системы, используя формулы (*) в п.6. Найти ФСР од-нородной системы , вы-писать общее решение неоднородной системы в виде

,

т.е.

Найдем , положив в формулах (*) свободные пере-менные . Тогда и =(-7,3,0,0) – частное решение неоднородной системы. Для получения ФСР однородной системы выпишем общее решение этой системы в координатном виде. В формулах (*) заменим свободные члены нулями, об-щее решение однородной системы

Так как , то ФСР состоит из двух векторов . Пусть , тогда , если то и общее решение однородной системы имеет вид

.

Окончательно получим векторную форму общего ре-шения неоднородной системы как сумму и :