1.3 Подпространство пространства Rn

Непустое подмножество называется подпространством V пространства Rⁿ, если для любых , и любых чисел линейная комбинация Итак, операции сложения и умножения на число не выводят вектор за пределы подпространства. Отсюда, все подпространства содержат 0-вектор .

Основные понятия линейной независимости, базиса, размерности, введенные в пространстве , переносятся на подпространство. Очевидно, множество, состоящее из нулевого вектора , и само пространство являются подпространствами. Их называют несобственными подпростран-ствами пространства .

Примерами собственных подпространств в служат любые прямые и плоскости, прохо-дящие через начало координат.

Пример. Рассмотрим подмножество векторов из , у которых : . Покажем, что – подпространство.

Пусть , , т.е. и .

Рассмотрим , первая координата , а значит, , т.е. V – подпространство.

Мы заканчиваем главу, посвященную пространству . Понятия и утверждения, сформулированные для , наглядно иллюстрируются примерами, относящимися к трехмерному пространству (или двумерному пространству ). При изучении векторной алгебры было введено скалярное произведение двух векторов. Напомним, если , то скалярная величина называлась скалярным произведением векторов и . Со скалярным произведением связаны основные метрические представления: длина вектора , угол между векторами и , и др. Введем аналогичные понятия в пространстве . По определению будем считать, что скалярное произведение векторов : ;

модуль вектора (длина вектора):

угол между векторами и .

При этом доказывается, что для любых . Коль скоро есть понятие угла, то есть и понятие ортогональности: , если .

Система векторов – ортонормированная, если векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице.

2 Матрицы

2.1 Основные определения

Прямоугольной матрицей порядка называется таблица из чисел

с m строками и n столбцами. Сокращенно обозначают .

Числа называются элементами матрицы A; i, j – индексы элемента , определяющие положение элемента в таблице: i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится . Если , то матрица называется квадратной, а число n называют порядком матрицы.

Совокупность элементов образует главную диагональ квадратной матрицы, а элементы – побочную диагональ.

Так, для матрицы

Порядок n = 3, = 4, = 2; главная диагональ –1, 6, –3; побочная диагональ 0, 6, 3.

Нулевой матрицей называют матрицу

все элементы которой равны нулю.

Особую роль на множестве квадратных матриц играет единичная матрица Е, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, а на главной диагонали стоят единицы:

Квадратная матрица B, под главной диагональю которой стоят нули, называется верхне-треугольной; соответственно определяется нижнетреугольная матрица.

Так, матрица – верхнетреугольная,

а матрица – нижнетреугольная.

Симметричной называется квадратная матрица , у которой элементы, симметрич-ные относительно главной диагонали, равны . Частным случаем пря-моугольной матрицы являются вектор-строка и вектор-столбец. Так, вектор является матрицей порядка , а векторы , – матрица порядка .