4 Определители

4.1 Определители второго и третьего порядков

Важной характеристикой квадратной матрицы A порядка n является ее определитель.

Рассмотрим это понятие для матриц второго порядка.

Пусть

.

Определитель матрицы A – число, которое ставится в соответствие матрице A и вычисляется по правилу .

Обозначение: .

Порядок определителя совпадает с порядком матрицы.

Например .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка

.

Ее определитель есть число, вычисленное по правилу:

(*)

Коэффициенты при в этой формуле называются алгебраическими дополнениями этих элементов и обозначаются .

Рассмотрим произвольный элемент матрицы A. Мысленно вычеркнем в определителе i-ю строку и j-й столбец, на пересечении которых стоит этот элемент. Полученный определитель меньшего (второго) порядка называют минором элемента и обозначают . Алгебраическое дополнение отличается от минора лишь знаком: . Формула (*) теперь запишется так:

.

Эту формулу называют разложением определителя по первой строке. Можно проверить, что результат не изменится, если разложить определитель по любой другой строке (или столбцу).

Итак, определитель det A равен сумме произведений элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:

.

Вычисление определителя третьего порядка сведено к вычислению определителя второго порядка.

Пример

.

Вычислим разложением по второй строке:

;

Очевидно, для вычисления определителя «выгодно» выбрать строку (столбец), содержащий нули.

4.2 Определители n-го порядка. Основные свойства определителей

Вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению определителей второго порядка.

Аналогично вычисление определителей четвертого порядка разложением по строке (столбцу) сведется к вычислению определителей третьего порядка.

Умея вычислять определители четвертого порядка, можно вычислять и определитель пятого порядка. И так далее. По индукции мы можем дойти до определителей произвольного порядка . При этом результат не будет зависеть от того, разложением по какой строке (столбцу) на каждом шаге мы пользуемся.

Определителем матрицы A n-го порядка называется число, полученное разложением по i-й строке:

, или .

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: , если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной.

Отметим без доказательства основные свойства определителей. Мы сформулируем их применительно к строкам матрицы, но свойства дословно сохраняются при замене слова «строка» на слово «столбец».

Основные свойства определителей:

1°. При умножении всех элементов некоторой строки на число определитель исходной матри-цы умножается на это число.

2°. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю (следует из 1°).

3°. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

4°. Если две строки матрицы равны, то ее определитель равен нулю (следует из 3°).

5°. Если i-я строка матрицы представляется в виде суммы двух векторов , то ее определи-тель есть сумма двух определителей, отличающихся лишь i-й строкой: у одного из них i-я строка есть , у другого – .

6°. Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке матрицы прибавить другую ее строку, умноженную на число (элементарное преобразование Гаусса!).

7°. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей: .

8°. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример. Вычислить определитель верхнеугольной матрицы A.

.

На каждом шаге применяли разложение по первому столбцу. Мы видим, что определитель равен произведению элементов главной диагонали. Этот результат справедлив в общем случае. Определитель верхнетреугольной (нижнетреугольной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Замечание 1. При элементарных преобразованиях Гаусса определитель матрицы может только изменить знак (при перестановке строк). Поэтому удобно считать определитель матрицы, предва-рительно приведя ее к ступенчатому виду.

Замечание 2. Преобразование Гаусса сводит квадратную матрицу к верхнетреугольному виду, определитель которой равен произведению диагональных элементов. Такой определитель будет отличен от нуля, если все диагональные элементы угловые, т.е. , где n – порядок матрицы.

Замечание 3. Если ранг A равен ее порядку, то строки матрицы линейно независимы. Таким образом, равенство нулю определителя есть признак линейной зависимости строк матрицы.

Пример. Вычислить определитель, пользуясь его свойствами.

.

Из первого столбца вынесли общий множитель 2, из второго – 3, а из первой строки – 2, в полученном определителе первые два столбца совпадают.