7 Многочлены. Понятие о комплексных числах
7.1 Определения. Действия над комплексными числами
Появление
комплексных чисел можно объяснить
желанием решить уравнение, не имеющее
действительных корней. Еще в школе мы
встречались с ситуацией, когда квадратный
трехчлен
не имеет действительных корней
(дискриминант
).
Например, урав-нение
не имеет действительного решения, нет
такого действительного числа х,
квадрат которого равен отрицательному
числу –9. Введем понятие комплексного
числа.
Комплексным
числом Z
называется
выражение
,
где a,
b
– действительные числа, а
;
a
называется действительной (или
вещественной) частью, b
– мнимой частью комплексного
числа Z.
Приняты следующие обозначения:
,
.
Если
,
то
назы-вают чисто мнимым числом, при
получаем
– действительное число. Комплек-сное
число Z
= 0,
если число
(действительная и мнимая части –
нулевые). Два комплексных числа
и
,
отличающихся только знаком мнимой
части, называются комплексно
сопряженными.
Числа
и
равны, если
и
.
Для
геометрического изображения комплексного
числа введем понятие комплексной
плоскости.
На плоскости
комплексное число
изобразим точкой
(или вектором
);
ось
называется действительной осью, а ось
– мнимой (рисунок 2).
Рисунок 2
Каждой
точке
комплексной плоскости соответствует
комплексное число
.
Суммой двух комплексных чисел
и
называется комплексное
число
.
Разностью
называется комплексное число
.
Сложение комплексных чисел, изображенных векторами на комплексной плоскости, произво-дится по правилу сложения векторов (правило параллелограмма) (рисунок 3 и 4).
Рисунок 3 Рисунок 4
Чтобы найти произведение двух комплексных чисел, следует перемножить их по обычным правилам алгебры, учитывая, что :
;
.
Например,
если
,
то
.
Заметим,
что произведение двух сопряженных чисел
– неотрицательное вещественное число:
.
Для
деления комплексных чисел
на
надо домножить числитель и знаменатель
на число, сопряженное знаменателю:
.
Например,
найдем частное
:
.
7.2 Тригонометрическая форма комплексного числа
Обозначим
через
и
(
)
полярные координаты точки
(см. рисунок 2). Тогда
,
,
.
Последнее выражение называется
тригонометрической
формой записи комплексного числа.
Число r
называется модулем,
а
– аргументом
комплекс-ного
числа Z;
обозначения:
.
Очевидно, r и выражаются через a и b по формулам:
.
Аргумент
определяется с точностью до поворота
на угол
,
где K
– целое число.
Отметим,
что чисто мнимые числа лежат на оси
и имеют аргумент
,
а частный
случай комплексного числа – действительные
числа – изображаются точками на оси
и их аргумент
= 0
или
(с точностью до
).
Комплексно-сопряженные
числа
и
имеют одинаковые модули и противоположные
аргу-менты, а на комплексной плоскости
они симметричны относительно оси
(рисунок 5).
Рисунок 5
Удобно
использовать тригонометрическую форму
записи комплексных чисел при операциях
умножения и возведения в степень. Так,
если
,
,
то
При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемно-жаются, а аргументы складываются.
В частности, получаем формулу Муавра для возведения в степень:
.
Можно проверить, что операции сложения и умножения комплексных чисел подчиняются тем же законам, что и операции с вещественными числами. Значит, порядок выполнения операций и раскрытия скобок – обычный, принятый в алгебре.
Так,
(дистрибутивность умножения относительно
сложения).
В отличие от вещественных чисел отношения «больше» («меньше») в области комплексных чисел не вводятся.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример
1.
Решить уравнение
.
Применим известную формулу для корней квадратного трехчлена и получим
.
Заметим, что для комплексных корней остается верной теорема Виета:
.
Пример
2.
Вычислить
.
Учитывая,
что
,
поэтому
.
Пример
3.
Найти модуль и аргумент комплексного
числа
;
изобразить
на комп-лексной плоскости.
;
Аргумент
имеет отрицательный
и положительный
,
поэтому наименьший угол
;
.
Изобразить Z
на плоскости можно, отложив на луче
радиус-вектор
или отложив
на оси
и
по оси ординат (рисунок 6).
Рисунок 6
Пример
4.
Найти и изобразить на комплексной
плоскости геометрическое место точек,
удов-летворяющих условию
.
Так
как
есть расстояние от точки Z
до начала координат, то следует рассмотреть
все точки Z
на плоскости, отстоящие на расстоянии
r
= 2
от т. (0,0) – это окружность с центром в
начале координат и радиусом 2 (рисунок
7).
Рисунок 7
Пример
5.
Определить геометрическое место точек
Z,
для которых
.
Решением
является луч
(рисунок 8).
Рисунок 8
Для
каждого комплексного числа
определим показательную функцию
комплекс-ного переменного
.
Из определения следует, что верны формулы:
При
x
= 0 получаем
формулу Эйлера
.
Из
формулы Эйлера следует, что комплексное
число
можно представить в виде
.
Получим выражения для
и
:
Определим
операцию извлечения корня n-й
степени из комплексного числа. Корнем
n-й
степени из числа Z
называется
комплексное число
,
n-я
степень которого равна Z,
т.е. если
,
то
,
причем
.
Поскольку
равные комплексные числа имеют равные
модули и их аргументы отличаются на
,
то
.
Отсюда
получаем:
(арифметический, из действительного
положительного r),
,
где K
= 0,1,2,…,n
– 1.
Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений
.
Например,
вычислим
:
.
Отсюда
,
,
.
Положим
K
= 0, 1, 2,
получим, что
имеет следующие три значения:
(рисунок 9).
Рисунок 9
Пример. Найти все значения кубического корня из 1.
;
;
;
;
;
K =
0,1,2.
Имеем три корня:
,
;
(рисунок
10).
Рисунок 10
Введение комплексных чисел позволяет упростить многие записи, получить важные «вещественные» формулы. Комплексные числа оказались полезны при решении многих практических задач. Сюда относятся задачи, связанные с распространением звука и света, задачи электротехники и радиотехники и др.