1. Выполнение в пакете statistica

Сравним графически функцию эмпирического распределения для выборки объема n = 10 и функцию теоретического распределения. Будем работать в модуле Data Management, поскольку операция сортировки находится в нем.

а) Подготовка функции эмпирического распределения.

Заготовим таблицу размером 3v  10c.

В первом столбце (назовем его х) сгенерируем выборку объема 10 с равномерным на отрезке [0, 1] распределением.

Построим вариационный ряд, т.е. сделаем сортировку по возрастанию: выделим столбец x - Analysis - Sort -Var: x, Ascer (по возрастанию) - ОК.

Во втором столбце вычислим значения функции эмпирического распределения:

выделим второй столбец: - Vars - Current Specs - Name: FE (например), long name: = v0 /10 - OK.

б) Подготовка функции теоретического распределения.

Поскольку функция равномерного на [a, b] распределения определяется на [a, b] отрезком прямой, ее можно задать двумя точками (а, 0) и (b, 1), в данном случае (0, 0) и (1, 1). В третьем столбце, назовем его FT, введем два значения 0 и 1 (с клавиатуры).

в) Покажем на одном графике две функции распределения:

Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - в Plot 1 укажем Х : Х, Y : FE, Step Plot (вместо Line Plot), в Plot 2 укажем X : FT, Y : FT, Line Plot - OK.

Наблюдаем функции теоретического и эмпирического распределений (рис.7). Выводим график на принтер.

Заметим, что в процедуре Custom 2D Graphs в окна X: и Y: значения можно вводить с клавиатуры или, кликнув дважды на соответствующем поле, из списков столбцов и строк; при этом из каждого списка столбцов (Column) или строк (Row) необходимо задать имена.

Если бы у нас была выборка с некоторой произвольной теоретической функцией распределения, в столбец FT нужно было бы записать ее значения в точках вариационного ряда - столбца Х. Например, если бы выборка была из совокупности с экспоненциальным распределением с параметром  = 2, то для FT long name :

= IExpon (X; 2)

(I - интегральная функция). Настройка графика в процедуре 2D Graphs была бы такова: в PLOT 1 X : X, Y : FE, Step Plot, в Plot 2 X : X, Y : FT. Выполним это, не изменяя выборки.

Теперь повторим а)  в) для n = 40, 160, 640. Убедимся в том, что при увеличении n функция эмпирического распределения приближается к теоретической (рис.8,рис.9).

Рис.7. Функции эмпирического и теоретического распределений n=10, R[0, 1].

Рис.8. Функции эмпирического и теоретического распределений n=40, R[0, 1].

Рис.9. Функции эмпирического и теоретического распределений n=160, R[0, 1].

2. Выполнение в пакете spss.

Сравним графически функцию эмпирического распределения для выборки объема n = 10 и функцию теоретического распределения F(x). Сделаем это на примере равномерного на [0, 1] распределения.

а) Вычисление функции эмпирического распределения.

Образуем новый файл. В столбец х (так, например, его назовем) сгенерируем выборку объема n = 10.

Построим вариационный ряд:

Data - Sort Cases - Sort by: x, Sort Order: Ascending (порядок сортировки: по возрастанию) - ОК.

Вычисление функции.

Statistics - Summarize - Frequencies - в правый список Variables перенесем х - ОК.

В окне Output в последнем столбце Cum. Percent находятся значения в процентах функции эмпирического распределения, соответствующие значениям аргумента в столбце Value (вариационного ряда). Выделяем его, и с помощью Copy и Paste заносим во 2-й столбец таблицы, которому даем имя Fn; значения делим на 100, чтобы проценты перевести в доли.

б) Вычисление функции теоретического распределения.

В третьем столбце (назовем его х1 ), запишем значения аргумента с равным, например, шагом; Numeric Expression: Fn. В четвертом столбце (назовем его F), запишем значения функции теоретического распределения; поскольку, в данном случае, F(x) = x, 0  x  1, для F Numeric Expression: x1.

в) Построение графика с двумя функциями:

Graphs - Scatter - Overlay - Define - в правый список Y - X Pairs вводим пару Fn - x, затем F - x1 - OK.

Появляется диаграмма с точками - Edit - кнопка “линии” (зигзаг) - выделяем точки эмпирического распределения (стрелка на точке + щелчок мышью), отмечаем Left step - Apply - выделяем точки теоретического распределения, отмечаем Straight Apply. Можно убрать или поменять точки с помощью кнопки *. Получаем график с двумя функциями; его сохраним или распечатаем.

Если бы имелась выборка с некоторой произвольной теоретической функцией распределения, в столбец х1 следовало бы записать значения аргумента с равным шагом (их можно получить умножением Fn на число), а в столбец F - вычисленные соответствующие значения.

Повторим а)  в) для n = 40, 160. Убедимся в том, что при увеличении n функция эмпирического распределения приближается к теоретической.