Теоретическое сравнение оценок

Все три оценки несмещённые, что можно проверить методами теории вероятностей. определим дисперсии оценок:

Dâ₁ = D( ) = ,

Dâ₂ = D( max x_i ) = ,

Dâ₃ = D(x_(k) + x_(k+1))  ,

откуда ясно, что â₂ — наиболее точная оценка, а â₃ — наименее. Поясним приведенные формулы для дисперсий.

Первая:

Dâ₁ = = = = .

Вторая. определим функцию распределения статистики max x_i :

F(z)  P{ max x_i < z} = P{x₁ < z, ..., x_n < z} = = ;

плотность распределения

p(z) = F(z) = , z[0, a].

Далее

Mâ ₂ = M( max x_i ) = = ,

Mâ₂² = M = ,

Dâ₂ = Mâ₂² — (Mâ₂)²=

Третья. используем теорему Крамера, согласно которой выборочная p - квантиль имеет дисперсию, равную приближенно , где x_p — истинная p-квантиль, f(x) - плотность распределения наблюдений выборки. В нашем случае (при n = 2k) статистика

0.5 (x_(k) +x _(k+1) )  m

является выборочной медианой (p = 0.5) , f(x_0.5) = 1/a , â₃ = 2m, и потому

Dâ₃=Dm = = .

Статистическое сравнение оценок

Далеко не всегда удается аналитически вычислить дисперсию оценки. Как экспериментально определить, какой из оценок пользоваться? По одной выборке нельзя судить о разбросе значений оценки, поскольку значение всего одно; необходимо иметь несколько выборок, например, k = 20, (или хотя бы 5  10), оценить разброс значений для каждой оценки и предпочесть ту оценку (тот способ оценивания), для которой разброс меньше. Если же выборка всего одна, то следует (если n достаточно велико) разбить её случайным образом на несколько выборок, и по ним сравнивать качество оценок.

Сформируем k =20 выборок из распределения R[0, a=10] объема n для различных n=10, 40, 160 и определим разброс оценок. Характеристиками разброса значений а₁,...,а_k оценки â будем считать размах

w = max a_i - min a_i

и среднеквадратичное отклонение (ско)

S_a= , .

В качестве примера в табл.1 и на рис.1 приведены результаты сравнения трех оценок.

Таблица 1. Разброс значений оценок.

		â1	â2	â3
	amin	7.98	9.21	6.04
n = 10	amax	13.80	10.98	15.69
	w	5.82	1.77	9.65
	Sa	1.51	0.53	2.35
	amin	8.59	9.77	7.02
n = 40	amax	11.35	10.24	12.89
	w	2.76	0.47	5.86
	Sa	0.84	0.14	1.56
	amin	9.12	9.85	8.67
n = 160	amax	11.26	10.06	12.24
	w	2.14	0.21	3.57
	sa	0.50	0.05	0.94

Сравнение значений размахов w и ско S_а для 3 оценок показывает, что оценка â₂(х₁, ... , х_n) наиболее точна, а оценка â₃(х₁, ... , х_n) - наименее.

Приведенные результаты экспериментального сравнения 3 способов обработки наблюдений показывают следующее.

1. Значения оценок концентрируются в окрестности оцениваемого параметра (проявление свойства несмещенности оценок).

2. С ростом числа наблюдений точность (величина разброса) оценок улучшается (проявление свойства состоятельности).

3. Различные оценки различаются по величине средней ошибки, откуда ясно, что различные способы обработки наблюдений нужно сравнивать по величине среднего значения некоторого критерия качества, например, среднего значения квадрата ошибки.