Проверка сложной гипотезы о вероятностях

Пусть A₁, ...,A_m - m исходов некоторого опыта, n - число независимых повторений опыта, ₁,...,_m - числа появлений исходов. Проверяемая гипотеза Н предполагает, что вероятности исходов P(A_i) являются известными функциями p_i(a) k-мерного параметра a = (a₁,...,a_k), т.е.

Н: Р(А_i) = p_i(a), i = 1, ..., m,

но значение а неизвестно.

Для проверки гипотезы Н определим статистику

(6)

По теореме Фишера, если Н верна, то при n   распределение статистики Х² асимптотически подчиняется распределению хи-квадрат с числом степеней свободы f = m -1- k, и потому отклоняем Н, если

 h, (7)

где h = Q(1-, f) - квантиль уровня 1-  распределения хи-квадрат с числом степеней свободы f; такой порог обеспечивает выбранный уровень  вероятности P(отклонить Н / Н) ошибки 1-го рода. Если (7) не выполняется, делаем вывод, что наблюдения не противоречат гипотезе. Распределению хи-квадрат с f = m -1- k степенями свободы асимптотически подчиняется также статистика

, (8)

где - оценка максимального правдоподобия для а, и потому в (7) может быть использована статистика (8) вместо (6). Процедура (7) может быть записана иначе: если

P{_f²  X²}   (9)

то гипотеза Н отклоняется.

Проверка гипотезы о типе распределения

Пусть требуется проверить гипотезу о том, что выборка x₁, ..., x_n извлечена из совокупности, распределенной по некоторому закону, известному с точностью до k-мерного параметра а=(а₁,...,а_k). Оказываются теоретически обоснованными следующие действия: разобьем весь диапазон наблюдений на m интервалов, определим значения _i -число наблюдений в i-м интервале, получим значение оценки минимизацией (6) или методом максимального правдоподобия, определим вероятности p_i( ) попадания в i-й интервал, вычислим (6) или (8) и примем решение по (7).

Пример 1. Проверка нормальности. Проверим гипотезу о нормальном законе распределения размеров головок заклепок, сделанных на одном станке, по выборке объема n = 200; измерения приведены в таблице 1 [1, с.15]. Оценками для а (среднего) и  (стандартного отклонения) являются

и .

Таблица 1.

Диаметры 200 головок заклепок, мм
13.39	13.33	13.56	13.38	13.43	13.37	13.53	13.40	13.25	13.37
13.28	13.34	13.50	13.38	13.38	13.45	13.47	13.62	13.45	13.39
13.53	13.58	13.32	13.27	13.42	13.40	13.57	13.46	13.33	13.40
13.57	13.36	13.43	13.38	13.26	13.52	13.35	13.29	13.48	13.43
13.40	13.39	13.50	13.52	13.39	13.39	13.46	13.29	13.55	13.31
13.29	13.33	13.38	13.61	13.55	13.40	13.20	13.31	13.46	13.13
13.43	13.51	13.50	13.38	13.44	13.62	13.42	13.54	13.31	13.58
13.41	13.49	13.42	13.45	13.34	13.47	13.48	13.59	13.20	14.56
13.55	13.44	13.50	13.40	13.48	13.29	13.31	13.42	13.32	13.48
13.43	13.26	13.58	13.38	13.48	13.45	13.29	13.32	13.24	13.38
13.34	13.14	13.31	13.51	13.59	13.32	13.52	13.57	13.62	13.29
13.23	13.37	13.64	13.30	13.40	13.58	13.24	13.32	13.52	13.50
13.43	13.58	13.63	13.48	13.34	13.37	13.18	13.50	13.45	13.60
13.38	13.33	13.57	13.28	13.32	13.40	13.40	13.33	13.20	13.44
13.34	13.54	13.40	13.47	13.28	13.41	13.39	13.48	13.42	13.46
13.28	13.46	13.37	13.53	13.43	13.30	13.45	13.40	13.45	13.40
13.33	13.39	13.56	13.46	13.26	13.35	13.42	13.36	13.44	13.41
13.43	13.51	13.51	13.24	13.34	13.28	13.37	13.54	13.43	13.35
13.52	13.23	13.48	13.48	13.54	13.41	13.51	13.44	13.36	13.36
13.53	13.44	13.69	13.66	13.32	13.26	13.51	13.38	13.46	13.34