1. Выполнение в пакете statistica

Сгенерируем 7 выборок объема n = 1000 с распределением Коши и определим по каждой среднее значение.

а) Заготовим таблицу 7v  1000c, изменив имеющуюся.

б) Сгенерируем выборки.

Vars - All Specs - выделяем любую клетку в 4 столбце и вводим определяющее выражение, соответствующее плотности (3),

= VCauchy (rnd (1); 0; 1)

здесь а = 0 – параметр сдвига, b = 1 – параметр масштаба в плотности

p (x  a, b) = ;

переносим выражение в остальные 6 клеток:

Edit - Copy (переносим запись в буфер), выделяем другую клетку и

Edit - Paste (вставляем запись); это же можно сделать короче с помощью кнопок Copy и Paste; закрываем окно и исполняем

кнопка Х = ? (Recalculate) - All variables - OK.

в) Определим среднее значение на всех 7 выборках:

выделим всю матрицу (щелчок на пересечении заголовков строк и столбцов) - Edit - Block Sats/Columns - Means.

Убеждаемся, что хотя бы в одной выборке модуль среднего превосходит 1. Если же это не так, то нам крупно не повезло: произошло событие с вероятностью менее 0,01.

г) Посмотрим график выборки из распределения Коши (рис.1):

Graphs - Stats 2D Graphs - Line Plots (Variables)... - в поле Line Plots вводим Variables: x1 (например), Graph Tipe: Regular, Fit: off.

обратим внимание на то, что имеются редкие наблюдения, отстоящие очень далеко от центра распределения – точки 0.

Рис. 1.Выборка наблюдений, распределенных по закону Коши (N = 200).

2. Выполнение в пакете spss

Сгенерируем 7 выборок объема n = 1000 с распределением Коши и определим по каждой среднее значение.

а) Образуем вектор - столбец длины n = 1000 удвоением (см. выше), начав, например, с 125. присвоим ему имя:

Data - Define Variable... - Name: x1 - OK.

б) Сгенерируем выборки:

Transform - Compute - Target Variable: x1, Numeric Expression:

UNIFORM (3,14159265).

Повторим это для х2  х7.

Затем:

Transform - Compute - Target Variable: x1; поскольку в пакете нет тангенса Numeric Expression:

SIN (x1) / cos (x1)

Повторим для х2  х7.

в) Определим средние:

Statistics - Summarise - Descriptives - перенесем все 7 переменных в правый список - Options - отметим Mean, Display Order: Name (показывать в порядке нумерации) - Continue - OK.

Получаем таблицу средних. Убеждаемся в том, что хотя бы одно из 7 средних по модулю превышает 1.

г) Посмотрим график выборки из распределения Коши:

Graphs - Line... - Simple, Values of individual cases - Define - Line Represents: x1 - OK..

Видим, что основная масса наблюдений имеет значения, близкие к 0, однако, имеются редкие наблюдения с большими по модулю значениями. График сохраним или распечатаем.

Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.

Закон больших чисел в форме Чебышева означает, что распределение случайной величины

сжимается с ростом n. Если математические ожидания одинаковы, т.е. M_i=a, то сжатие происходит в окрестности точки a.

Аналитически иллюстрировать сжатие можно, если распределение для легко выписывается. Например, если _i распределены нормально N(a, ²), то случайная величина распределена по N(a, ²/n). Построим графики плотностей для n =1, 4, 25, 100 и  =1, a =1 (сделаем это в целях освоения пакета).

Статистически убедиться в сжатии можно, наблюдая гистограммы при различных значениях n (например, для n =10, 40, 160, 640). Сгенерируем k раз (например, хотя бы k =20) случайную величину  : и построим для этой выборки средних гистограмму H_n. Сравнивая гистограммы для различных n, мы заметим сжатие (сделать самостоятельно). сжатие можно увидеть определением для каждого n по минимального _min, максимального _max значений и размаха w = _{max - min .}