Последовательное различение двух простых гипотез (последовательный анализ Вальда).

Задачу различения двух простых гипотез поставим иначе. Объем наблюдений фиксировать не будем. рассмотрим правило различения, которое имело бы заданные уровни вероятностей ошибок и при этом требовало минимальное в среднем число наблюдений. Во многих практических ситуациях требование скорейшего принятия решения является весьма существенным, например, испытания надежности, выборочный контроль, принятие решения о наличии цели в радиолокации, испытания экономической системы и т.д.

Пусть х₁, ..., х_n, ... - последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин. Относительно распределения имеется два предположения:

Н₀ : наблюдения распределены с плотностью р₀ (х),

Н₁ : наблюдения распределены с плотностью р₁(х); (если наблюдения дискретны, то р₀ (х), р₁(х) - вероятности).

После каждого наблюдения предоставляется выбор из трех возможных решений:

- принять Н₀ и закончить наблюдения,

- принять Н₁ и закончить наблюдения,

- не принимать ни одну из гипотез и продолжить наблюдения.

Формулировка решающего правила (последовательный критерий отношения вероятностей). Рассмотрим следующую процедуру . Зафиксируем два порога: верхний А и нижний В: 0 < В < 1 < А. Пусть уже получено n наблюдений (n = 1, 2, ...); обозначим

L_n(x₁, ..., x_n) =

- отношение правдоподобия. Процедура ^* на очередном шаге n такова:

если L_n(x₁, ..., x_n)  A, то принимается Н₁ и наблюдения заканчиваются;

если L_n(x₁, ..., x_n)  В, то принимается Н₀ и наблюдения заканчиваются; (7)

если В L_n(x₁, ..., x_n) < А, то делается еще одно наблюдение.

Очевидно, эта процедура характеризуется некоторыми вероятностями ошибок и средними числами наблюдений:

 = (А, В) = Р{ пр. Н₁ /Н₀},  =  (А, В) = Р{пр. Н₀ /H₁},

n₀ =n₀(А, В) = М( /H₀), n₁ = n₁(А, В) = М( /H₁),

где  - число наблюдений (случайная величина) до принятия окончательного решения. Если ₀ и ₀ заданы, то в принципе можно найти пороги А и В, т.е. правило ^*. Оказывается, такое правило обладает свойством оптимальности.

Теорема (Вальд и Вольфовиц, 1948 г.). Среди всех решающих правил , обладающих свойством

(^)  ₀ , (^)  ₀ ,

последовательный критерий отношения вероятностей ^* имеет минимальные средние числа наблюдений:

n₀ (*)  n₀(), n₁ (*)  n₁(),

Заметим, что минимальность достигается сразу по двум характеристикам. (см. [7]).

Основные формулы. Легко показать справедливость неравенств, связывающих пороги с вероятностями ошибок:

А  , В  .

Вместо неизвестных значений А и В возьмем их приближенные значения А^ и В^:

А  А^ = , В  В^ = . (8)

Конечно, при таком выборе порогов будем иметь не  и , а некоторые ^ и ^. Оказывается, последние несущественно меньше требуемых  и .

для средних чисел наблюдений справедливы следующие приближенные (обычно с хорошей точностью) формулы:

n₀  М( /H₀)  ,

n₁  М( /H₁) , (9)

где ,

М( /H_i) = , i = 0, 1.

Функция мощности и среднее число наблюдений, как функции параметра. Пусть х₁, ..., х_n, ... - последовательность независимых наблюдений, подчиняющихся закону р(х/a), зависящему от параметра а. проверяется гипотеза Н₀ : а = а₀ при альтернативе Н₁ : а = а₁ . Для различения гипотез используем последовательный критерий отношения вероятностей с порогами А( ) и В( ). В реальных задачах весьма часто альтернатива Н₁ (т.е. значение параметра а₁) выбирается условно, и наблюдения могут подчиняться закону р(х/a) при некотором значении а, не равном а₀ или а₁, и потому необходимо знать характеристики правила при произвольном а.

функция мощности W(a) = P{откл. Н₀ /a} определяется следующим образом (см. [2], [7]):

W(a)  , (10)

где h находится из уравнения

. (11)

W(a) можно вычислить параметрически, зная W(h) и a(h) по (10) и (11). Среднее число наблюдений

n(a) = М( /a)  , (12)

где М( /a) = .