2. Выполнение в пакете spss.
Образуем столбец х1 длины n = 500 и сгенерируем в него выборку, имеющую beta-распределение с параметрами a = b = 0.5. Соответствующее Numeric Expression:
(cos (UNIFORM (3,141592)) + 1) / 2.
Сгенерируем еще 5 выборок в столбцы х2 х6. Вычислим суммы S2 , S4, S6 в столбцы S2, S4, S6; соответствующие: Numeric Expression:
для S2: x1 + x2 ,
для S4: S2 + x3 + x4 ,
для S6: S4 + x5 + x6 .
Сравним гистограммы для m = 1, 2, 4, 6 слагаемых:
Graphs - Histogram - Variable: x1 (или x2 x5) - OK.
Убеждаемся в существенном отличии распределения слагаемых от нормального.
Аналогично получим гистограмму для S2 , S4, S6. Убеждаемся, что уже при шести слагаемых распределение близко к нормальному; подтверждением тому являются значения статистики Dn Колмогорова - Смирнова:
Statistics - Nonparametric Tests - 1 - Sample K - S - Test Variable List: S2 (затем S4 и S6) - Test Distribution: Normal - OK.
В окне Output
находим значение статистики Dn
Most
extreme
differences
Absolute:
0.025 (например, для S4),
нормированная статистика Dn
(
K
- S
Z):
0.572 и уровень значимости 2 - Tailed:
0.85, большая величина которого
свидетельствует в пользу нормального
распределения.
Выпишем эти значения для всех 4 вариантов, графики сохраним или выведем на печать.
Различно распределенные слагаемые
Распределение суммы сходится к нормальному и в том случае, когда слагаемые распределены по различным законам.
Задание 1.
Оценить экспериментально распределение
для суммы
шести слагаемых, распределенных по
различным законам; выберем их из семейства
beta-распределений
(13), задав следующие параметры:
-
1
2
3
4
5
6
a
1
0.5
1
1
2
2
b
0.5
1
1
2
1
2
Сгенерируем выборку для суммы и построим гистограмму для нее. Убедимся в том, что распределение близко к нормальному. Распечатаем гистограммы для слагаемых и для суммы.
Если же в сумме (12) имеется слагаемое, дисперсия которой существенно превышает все остальные, то приближенная нормальность места не имеет.
Задание 2. Проверить это (получить гистограмму), добавив в (12) 7-е слагаемое, имеющее beta-распределение с параметрами a=b=0.5 и умноженное на 1000.
1. Выполнение в пакете statistica
Убедимся в том, что все 6 плотностей далеки от нормальной: построим графики плотностей beta - распределения с параметрами, указанными в таблице:
Analysis - Probability calculator - в появившемся окне в поле Distribution выбираем Beta, в поле shape 1: и shape 2: вводим значения параметров - Compute.
Наблюдаем графики плотности и функции распределения. В этом же окне можно по заданному аргументу вычислить функцию распределения и наоборот: по заданной вероятности p вычислить p-квантиль.
Выполним до конца задание 1.
Выполним задание 2.