1. Выполнение в пакете staTiStica

Будем выполнять в модуле Basic Statistics and Tables (можно выполнять также в модуле ANOVA/MANOVA). Создадим таблицу с двумя столбцами Р и Т и 30 строками; в Р занесем данные по производительности, в Т - уровни Т: технологии Т0, Т1, Т2. Далее выполним:

One - Way ANOVA (Analys Of Variances) - Analysis: Detailed Analysis Of Individual tables, Variabbles: Grouping variabbles (группирующие переменные): T, Dependent variabbles (зависимые переменные - отклики): P - OK - OK - отметив Statistics: Number of observations (количество наблюдений), Standart deviations (стандартные отклонения) и Variances (дисперсии), получим Summary table of means (таблицу средних); видно, как отличаются средние в каждой из групп (при фиксированном уровне фактора Т) - Возвращаемся в окно Descriptive Stats and ... Results и выполняем Analysis of Variance - Наблюдаем таблицу: в столбце SS (Sum of Squares) Effect указана сумма квадратов (4), умноженная на (k - 1), df = 2 = k - 1 - число степеней свободы, MS (Mean Square) = 839.0 - оценка (4), SS = 2711 - сумма квадратов (3), умноженная на (N - k), df = 27 = N - k, Ms Error = 100.4 - оценка (3), F = 8.35 - значение статистики (5), p = 0.0015 - вероятность в (7); последняя слишком мала, чтобы поверить в истинность гипотезы Н об отсутствии влияния фактора Т. Вывод: фактор Т (технология) влияет на Р (производительность).

Возникает вопрос: какие технологии можно считать значимо различными? Для ответа на этот вопрос возвращаемся в окно Descriptive Stats and ... Results и выполняем Post - hoc comparasion of means (сравнение средних) по методу Шеффе Sheffe test. Наблюдаем таблицу, в которой указаны уровни значимости гипотез о равенстве средних для всех пар уровней фактора Т; видим, что технологии Т0 и Т1 следует считать различными (вероятность 0.0015 слишком мала, чтобы поверить в равенство средних по Т0 и Т1).

Двухфакторный дисперсионный анализ

Изучается влияние, которое оказывают два качественных признака (факторы A и B ) на некоторый количественный результат (отклик ). Весьма типична ситуация, когда второй фактор (фактор B) является мешающим: он включается в рассмотрение по той причине, что мешает обнаружить и оценить влияние фактора A.

Пусть фактор A имеет k уровней A₁, ..., A_k , а фактор B - n уровней B₁,...,B_n . Предполагается, что измеряемая величина x есть результат действия факторов A и B и случайной составляющей  :

Принимается аддитивная и независимая модель действия факторов:

, (10)

причем

, . (11)

Последние два условия всегда можно выполнить смещением величин a_j и b_i и изменением величины c; величины a_j и b_i называются вкладами факторов. Итак, предполагается, что имеется совокупность наблюдений

x_ij=c+a_j+b_i+_ij , i=1, ..., n; j =1, ..., k, (12)

_ij - независимые, нормально N(0,²) распределенные случайные величины. Наблюдения можно представить таблицей 2 (в данном случае - простейшей, поскольку каждому сочетанию (A_j, B_i) уровней факторов, т.е. одной клетке таблицы, соответствует одно наблюдение; в общем случае нескольких наблюдений при анализе возникают несущественные усложнения.

Таблица 2 исходных данных.

Фактор B	Фактор A A1 A2 ... Ak	Средние по строкам (оценки вкладов B)
B1 B2 ... Bn	x1 x12 ... x1k x21 x22 ... x2k ... xn1 xn2 ... xnk	x1=(c+b1)^ x2=(c+b2)^ ... xn=(c+bn)^
Средние по столбцам (оценки вкладов A)	x1= x2= xk= (c+a1)^ (c+a2)^ c+ak)^	x=c^

В таблице ( )^ означает оценку. По имеющимся наблюдениям требуется проверить предположение об отсутствии влияния фактора A (или B) на результат измерения, т.е. проверить гипотезу

H_A: a₁ = a₂ = . . . = a_k = 0 (13)

Основой процедуры проверки гипотезы является сравнение двух статистически независимых оценок дисперсии ² . Одна из них, ^2* оценивает дисперсию вне зависимости от того, верна или нет H_A. Другая, ^2** оценивает дисперсию, если H_A верна; если же H_A не верна, то она имеет тенденцию принимать увеличенные значения.

Построение процедуры проверки гипотезы. Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка ^2* может быть получена с помощью метода наименьших квадратов. Оценим c, b_i, a_j минимизацией суммы

(14)

при условии , . Оценки

, , (15)

Остаточная сумма квадратов

, (16)

как известно, распределена по закону хи-квадрат (с точностью до множителя ²) с числом степеней r = nk - (n-1) - (k-1) -1= (n-1)(k-1). Оценка

. (17)

Для получения другой оценки, независимой от ^2*, рассмотрим x_1,...,x_k - k независимых случайных величин, где x_j распределена по N(c+a_j, ²/n). Если H_A верна, то эти случайные величины распределены одинаково по N(c_j, ²/n), и несмещенной оценкой для дисперсии ²/n является

, .

если обозначить

(18)

- сумму квадратов разностей “между столбцами”, т.е. по уровням фактора A (рассеяние по фактору A), то

, (19)

причем распределена по закону хи-квадрат с (k-1) степенями свободы; соответственно Q_A  ²²_{k - 1}. Если H_A не верна, то, как нетрудно показать, Q_A/² имеет нецентральное распределение хи-квадрат с (k -1) степенями свободы и параметром нецентральности .

Если гипотеза H_A верна, то отношение

имеет F - распределение Фишера с (k -1) и r степенями свободы. Если

F_A  F_1- , (20)

где F_1- - квантиль этого распределения порядка 1- ,  - выбранный уровень значимости, то гипотеза H_A отклоняется. Вместо (20) можно использовать эквивалентную процедуру: гипотеза H_A отклоняется, если

P{ F  F_A }   ; (21)

P{ F  F_A } - вероятность при справедливости H_A получить значение F_A или большее; F - случайная величина, имеющая распределение Фишера.