Центральная предельная теорема

Содержание теоремы.

Закон больших чисел утверждает , что при n  

,

где а = M_i. Центральная предельная теорема утверждает нечто большее, а, именно, что при этом стремлении происходит нормализация:

, (10)

где , т.е среднеарифметическое при больших n распределено приближенно по нормальному закону с дисперсией ²/n; этот факт записывают иначе, нормируя сумму:

.

Приведем формулировку одной из теорем.

Теорема Линдеберга. Если последовательность взаимно нeзависимых случайных величин ₁, _2,..., _n,... при любом постоянном >0 удовлетворяет условию Линдеберга

,

где , , то при n   равномерно относительно x

(11)

Следствие. Если независимые случайные величины ₁, _2,..., _n,... одинаково распределены и имеют конечную отличную от нуля дисперсию, то выполняется (11).Условие Линдеберга в этом случае, т.е. M_k=a, D_k=², F_k(x)=F(x), принимает вид: при любом  > 0 и при n  

;

оно, очевидно, выполняется, поскольку интеграл по всей оси, т.е. дисперсия, существует.

Убедимся статистически в том, что сумма нескольких случайных величин распределена приближенно по нормальному закону.

Одинаково распределенные слагаемые.

Сделаем это на примере суммы

(12)

шести (m = 6) независимых случайных величин, имеющих beta-распределение с параметрами a=b=0.5, плотность которого

, (13)

где - beta-функция. Плотность при выбранных значениях параметров имеет U-образный вид, весьма далекий от нормального; убедимся в этом, построив график плотности .

чтобы статистически оценить закон распределения для суммы S, следует многократно, N раз (например, N=500), промоделировать суммирование: получим S₁, S₂,...,S_N - выборку для суммы; для этой выборки построим гистограмму и сравним ее визуально с нормальной плотностью.

1) Выполнение в пакете statistica

Подготовим таблицу 9v  500c для размещения шести выборок, а в последних трех - сумм (для числа слагаемых m = 2, 4, 6).

Специфицируем переменные (столбцы):

Vars - All Specs - в окне Variables в столбце Name введем имена слагаемых x1, x2, ... x6 и имена сумм S2, S4, S6, в 4 столбце в первой строке – определяющее выражение

= VBeta (rnd (1); 0.5; 0.5),

эту запись перенесем в строки 26 с помощью операций Copy (кнопка или меню Edit - Copy) и Paste (вставить, кнопка или меню Edit - Copy); запишем выражение

для S2: = x 1 + x2,

для S4: = S2 + x3 + x4,

для S6: = S4 + x5 + x6,

закроем окно.

Выполним вычисления:

Recalculate Variable(s) (кнопка х = ? или меню Edit - Variables - Recalculate) - All Variables - OK.

Сравним гистограммы для m = 1, 2, 4, 6 слагаемых. Получим гистограмму для одного слагаемого:

выделим слагаемое, например, x1 – Quick Stats Graphs (кнопка на левой линейке или меню Graphs- Quick Stats Graphs...) - Histogram of x1 - Normal Fit. Наблюдаем гистограмму и плотность нормального распределения с параметрами, равными выборочным (рис.10). Убеждаемся в существенном отличии распределения слагаемого от нормального. Можно было также действовать через меню Graphs - Stats 2D Graphs - Histogram...

Аналогично получим гистограмму для суммы S2 двух слагаемых, для S4, для S6 (рис.11рис.13). Все 4 графика разместим на одном экране.

Убеждаемся, что уже при шести, даже четырех (!) слагаемых распределение близко к нормальному; подтверждением тому являются значения статистики Колмогорова - Смирнова К - Sd и уровень значимости p, которые указываются на графиках. Выпишем эти значения для всех 4 вариантов, а графики выведем на печать.

Рис.10. Гистограмма одного слагаемого.

Рис.11. Гистограмма суммы двух слагаемых

Рис.12. Гистограмма суммы четырех слагаемых

Рис.13. Гистограмма суммы шести слагаемых