Задание для самостоятельной работы

Сравнить статистически на выборках объема n=10 две оценки: оценку максимального правдоподобия и медианную оценку

1) среднего нормального распределения и

2) параметра показательного распределения.

Отчет по работе должен содержать:

1) постановку задачи оценивания, анализируемые оценки, выражения для их дисперсий (если их нетрудно получить);

2) результаты экспериментов:

распечатки 3-5 выборок, распечатку значений оценок на всех k = 20 выборках для объема n = 10,

графическое представление результатов сравнения оценок на всех выборках, таблицу разброса значений оценок,

графическую зависимость S_а от объема n для различных оценок.

1. Выполнение в пакете statistica

Оценивание по выборкам объема n = 10

Сформируем k =20 выборок объема n =10 и определим значения оценок a1, a2, a3 на каждой выборке.

Запустим пакет Statistica for Windows, выбрав в меню Basic Statistic/Tables. Ответим Cancel на предлагаемые запросы (если они будут).

Создание таблицы требуемых размеров

Из пункта меню File выберем команду New Data; укажем имя файла для сохранения будущей информации, например ESTIM--ÎÊ. Теперь на экране таблица 1010, где каждый столбец представляет переменную (название ее вынесено в заголовок столбца). преобразуем эту таблицу к размерам 2010 (20 выборок по 10 наблюдений): кнопка Vars (переменные), или через меню Еditе-Variables, и во всплывшем меню выберем команду Add (добавить). На экране запрос о числе добавляемых переменных (столбцов) и о том, куда их поместить. добавим 10 переменных, проставив 10 в поле Number... to add (набором на клавиатуре или кнопками справа от поля; в поле Insert after укажем имя Var10, после которой будут вставлены в матрицу новые столбцы; затем ОК. Теперь можно убедиться (просмотром таблицы), что в ней 20 столбцов; кроме того, размеры таблицы (в данном случае, 20v*10c) всегда указаны и ее заголовке. Количество строк не изменяем: оно равно 10. Заметим, что если число строк (сase) или столбцов (variable) в таблице превышает необходимое, можно таблицу не уменьшать.

Генерация выборок

Последовательность действий:

клавиша Vars - All specs... (спецификация всех) - появляется окно-таблица, в первом столбце которой находятся названия переменных (var1, var2,..., var20), а в четвертом (Long Name) - функция расчета; выделим первую клетку этого столбца и введем

= rnd(10)

 генерация случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [ 0, 10 ]. Скопируем эту запись в буфер обмена:

Edit - Copy

(или кнопкой Copy), а затем перенесем ее в остальные клетки (со 2 по 20):

выделим очередную клетку - Edit - Past (или, короче, кнопкой Past) -...-закроем окно. Выполним сделанные назначения:

кнопка x = ? - All variables - OK.

Сохраним 2 - 3 первые выборки - столбца для того, чтобы в дальнейшем распечатать:

выделение 2 - 3 столбцов - File - Export Data - формат Text - File name: Samples (например).

Распечатать их можно и сразу:

File - Print - Variables (указать, какие именно). Заметим, однако, что сохранить эти выборки или распечатать было бы удобнее ниже, после транспонирования матрицы, чтобы иметь в распечатке горизонтальное расположение, а не вертикальное.

Определение значений оценок â₁, â₂ и â₃ на 20 выборках.

Определим статистики, по которым вычисляются оценки:

выделим всю матрицу (щелчок мышью по клетке - пересечению заголовков строк и столбцов), затем трижды:

Edit - Block Stats/Columns- Sums (2 раз: Max’s, 3: Medians)

Можно иначе: правая клавиша мыши - Block Stats/Columns (блок статистик по колонкам) - Sums, (2 раз: Max’s, 3 - Medians).

В нижней части таблицы появляются 3 строки стребуемыми статистиками.

Для новых строк введем более удобные обозначения:

кнопка Cases-Names...-далее ясно.

Транспонируем нашу матрицу, которая теперь имеет размер 20v13с в матрицу 13v  20c (чтобы совершать действия со столбцами):

Edit - Transponse - Data File.

Добавим в матрицу 3 столбца (с 14 по 16 для значений оценок)

Vars - Add - Number of vars: 3 - after: 13

и определим значения оценки â₁:

выделим 1-й новый столбец Newvar1 - кн. Vars - Current Specs... (спецификация) - Name: A1 - Long name, согласно (1):

= Z/10  SUM

Аналогично определим значения оценок â₂ и â₃ ; различными будут операторы; для â₂ по (2):

= 11/10  MAX

для â₃ по (3):

= 2  MEDIAN

Полученные результаты (столбцы a1, a2, a3) испытаний 3 оценок на 20 выборках сохраним, чтобы в дальнейшем распечатать:

выделим a1, a2, a3 - File - Export Data - формат Text - укажем, куда поместить и с каким именем (например, a1a2a3). Можно также сохранить или распечатать первые 2 - 3 выборки-строки.

характеристики разброса для оценок:

выделим столбцы a1, a2, a3 - Edit - Block Stats/Column - SD’s (стандартное отклонение),

затем аналогично: Min’s, Max’s. Выписываем результаты в табл.1, размах вычисляем.

Сравнение размахов w и стандартных отклонений S_а для 3 оценок показывает, что оценка â₂(х₁, ... , х_n) наиболее точна, а оценка â₃(х₁, ... , х_n) - наименее.

Сравнение оценок â₂ и â₃ графически:

Graphs - Stats 2D Graphs - Line Plots (Variables) - в окне 2D Line Plots: Variables: A2 - A3, Graphs Type : Multyple, F : t (подбор распределения) : off (выключить) - ОК.

Из графика (рис.1) видно, что значения оценок находятся в окрестности 10, и что оценка â₂ имеет разброс меньше, чем â₃ . Распечатаем этот график:

File - Print Graphs

Рис.1 Сравнение оценок â₂ и â₃.

Оценивание по выборкам объема n=40 и n=160

Повторим п. 3.1 для n = 40 и n = 160.

Итоговое сравнение

Сравнение S_a(n) трех оценок графически для значений n =10, 40, 160:

образуем 4 новых переменных длины 3:

n : со значениями 10, 40, 160 ,

Sa1, Sa2, Sa3: со значениями стандартного отклонения для трех оценок.

построим графики S_a(n):

âыделим переменные Sa1, Sa2, Sa3 - Graphs - Custom Graphs - 2D Graphs - введем для Plot1 X : N, Y : Sa1, для Plot2 X : N, Y : Sa2, для Plot3 X : N, Y : Sa3 - OK.

Наблюдаем три кривые S_a(n), как функции n (рис. 2); ясно, что оценка â₂ наиболее точна, â₃ - наименее. График выводим на печать:

File - Print Graphs.

Рис.2. Сравнение трех оценок по стандартному отклонению.