Задание

Задача 1. Измерение на выходе радиолокационного приемника подчиняется распределению Релея, которое имеет плотность

p(x/) = , x0.

Если отраженного сигнала нет, то параметр  = ₀; если сигнал есть, то  = ₁  ₀.

1. По выборке объема n построить процедуру Неймана - Пирсона обнаружения отраженного сигнала. Объем n выбрать так, чтобы обеспечить заданные вероятности  и  ошибок первого и второго рода. Смоделировать две выборки: при  = ₀ и при  =₁. применить к ним построенную процедуру и выяснить, верные ли решения принимаются.

2. Построить последовательную процедуру обнаружения отраженного сигнала. Определить среднее число наблюдений и функцию мощности как функцию параметра . Смоделировать процесс наблюдения и принятия решения в случаях, когда отраженный сигнал есть и когда его нет. Изобразить его графически (по одной реализации). Исходные данные см. в табл. 1.

Сравнить число наблюдений для процедур 1 и 2.

Таблица 1.

	1	2	3	4	5	6	7	8
0	2.0	2.1	2.2	2.3	2.4	2.0	2.1	2.2
1	2.5	2.6	2.7	2.8	2.9	2.5	2.6	2.7
	0.05	0.02	0.05	0.02	0.05	0.02	0.05	0.02
	0.02	0.02	0.02	0.02	0.02	0.02	0.02	0.02

Задача 2. Радиоактивные вещества А и В излучают пуассоновские потоки частиц интенсивности _А сек^-1 и _В сек^-1, _А  _В. В закрытой капсуле находится одно из этих веществ, но неизвестно, какое именно.

1. Определить необходимое время Т наблюдения излучения и статистическую процедуру (Неймана - Пирсона) определения вещества в капсуле. Процедура должна иметь заданные вероятности  и  ошибок первого и второго рода. Смоделировать измерения для двух случаев вещества (А и В), применить к ним процедуру и выяснить, верные ли решения принимаются.

2. Построить последовательную процедуру определения вещества. Определить среднее время наблюдения и функцию мощности как функцию параметра. Смоделировать процесс наблюдения и принятия решения в двух случаях (по одной реализации). Изобразить его графически. Исходные данные см. в табл. 2.

Сравнить времена наблюдения для процедур 1 и 2.

Таблица 2.

	1	2	3	4	5	6	7	8
А	0.10	0.12	0.14	0.16	0.10	0.12	0.14	0.16
В	0.12	0.15	0.18	0.20	0.12	0.15	0.18	0.20
	0.01	0.02	0.03	0.02	0.05	0.01	0.02	0.03
	0.02	0.05	0.02	0.05	0.05	0.02	0.05	0.05

Задача 3. Петр утверждает, что умеет бросать монету так, что вероятность герба Р(Г) = р; Павел утверждает, что это невозможно и что Р(Г) = р₀ = 0.5.

1. Определить необходимое число бросаний и статистическую процедуру (Неймана - Пирсона) определения, кто из них прав. Обеспечить заданные вероятности  и  ( = ) ошибок первого и второго рода. Смоделировать две выборки при р = р₀ и р = р₁, применить к ним процедуру и выяснить, верные ли решения принимаются.

2. Построить последовательную процедуру разрешения спора. Определить среднее число наблюдений и функцию мощности, как функцию параметра р₁. Смоделировать процесс наблюдения и принятия решения в двух случаях (по одной реализации). Изобразить его графически. Исходные данные см. в табл. 3.

Сравнить число бросаний для процедур 1 и 2.

Таблица 3.

	1	2	3	4	5	6	7	8
р1	006	0.65	0.7	0.4	0.35	0.3	0.45	0.55
 = 	0.05	0.02	0.05	0.02	0.05	0.02	0.05	0.02

Работа № 7. Дисперсионный анализ

Однофакторный дисперсионный анализ

Изучается влияние, которое оказывает некоторый качественный признак (фактор) на количественный результат (отклик), например, влияние технологии изготовления прибора на его долговечность, влияние способа обработки земли на урожайность и т.д. Пусть фактор имеет уровней и пусть измеряемая величина x есть результат действия фактора и случайной составляющей  (от фактора не зависящей):

Будем считать, 1) что при каждом уровне фактора, j = 1, ..., k, имеется измерений

i = 1, ..., n_j , (1)

где обозначено , 2) что случайная составляющая  нормально распределена N(0, ²) с дисперсией ². Если влияния фактора нет, то все равны. Итак, имеется выборок объемами n₁, ..., n_k, . Проверим гипотезу об отсутствии влияния:

H: a₁ = a₂ =...= a_k

По каждой из выборок методом наибольшего правдоподобия оценим средние a_j и дисперсию ²:

, (2)

а затем оценим ² по всем выборкам:

. (3)

эта статистика несмещенно оценивает ² независимо от того, верна или нет гипотеза .

Другую оценку для ² построим по значениям . Если верна, то . Оценки для и ²:

, (4)

Из теоремы о совместном распределении оценок среднего и дисперсии нормальной совокупности следует, что статистики (N - k)^2* и (k-1)^2** независимы и распределены как ²²_N-k и соответственно, и потому их отношение

, (5)

если гипотеза верна, имеет F-распределение Фишера.

Если гипотеза не верна, то ^2** имеет тенденцию к увеличению за счет разброса средних a_j, и потому, если имеет слишком большое значение, т.е. если

, (6)

то гипотеза об отсутствии влияния фактора отклоняется, и следует считать, что среди средних a₁, a₂, …, a_k имеются хотя бы два не равных; здесь - квантиль уровня F-распределения с и степенями свободы,  - выбираемый уровень значимости. Если же (6) не выполняется, то это означает, что наблюдения не противоречат гипотезе об отсутствии влияния фактора. Условие (6) может быть записано иначе:

, (7)

где F - случайная величина, распределенная по закону Фишера.

Оценка влияния фактора. Отношение подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы, и если Q = - квантиль уровня 1-  этого распределения, то доверительный интервал для a_j с уровнем доверия :

(8)

Если гипотеза о равенстве средних отклоняется, то следует определить, по каким именно уровням фактора средние значимо различаются. Линейная комбинация

называется линейным контрастом. Оценка для L :

,

а оценка дисперсии :

Зафиксируем произвольное число контрастов . Можно показать, что одновременно для всех выполняются соотношения:

(9)

с вероятностью 1-. Это соотношение позволяет сделать вывод о всех интересующих нас контрастах одновременно. В частности, среди разностей a_j – a_i можно выделить те, которые значительно отличаются от нуля на выбранном уровне значимости (метод Шеффе).

Пример. На заводе разработаны две новые технологии Т₁ и Т₂. Чтобы оценить, как изменится дневная производительность при переводе на новые технологии, завод в течение 10 дней работал по каждой, включая существующую Т₀. Дневная производительность в условных единицах приводится в табл. 1. Проверим гипотезу об отсутствии влияния технологии на производительность.

таблица1

№	Т0	Т1	Т2	№	Т0	Т1	Т2
1	46	74	52	6	44	68	70
2	48	82	63	7	66	76	78
3	73	64	72	8	46	88	68
4	52	72	64	9	60	70	70
5	72	84	48	10	48	60	54