6.3 Коефіцієнти автокореляції та їх застосування

Окрім статистик Дарбіна-Уотсона та фон Неймана, для перевірки автокореляції застосовують також нециклічний коефіцієнт автокореляції r*, який відображає ступінь взаємозв’язку рядів і обчислюється за формулою

(6.4)

Коефіцієнт r* може набувати значень в інтервалі (–1;+1). Його від’ємні значення свідчать про від’ємну автокореляцію залишків, а додатні – про додатну автокореляцію. Значення, що лежать в деякій критичній області поблизу нуля, підтверджують нульову гіпотезу про відсутність автокореляції в залишках. Оскільки ймовірнiсний розподіл r* встановити важко, то на практиці замість r* обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції r⁰.

. (6.5)

Фактичне значення цього критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня довіри і довжини ряду спостережень n. Якщо r⁰_факт  r⁰_табл, то існує автокореляція. Припускаючи, що

, (6.6)

циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати так:

. (6.7)

причому . Значення r використовується при оцінюванні параметрів моделі.

6.4 Моделі з автокорельованими залишками

Зазначимо, що параметри моделі з автокорельованими залишками можна оцінити на основі чотирьох методів:

1) Ейткена (УМНК);

2) перетворення вихідної інформації;

3) Кохрена-Оркатта;

4) Дарбіна.

Перші два методи доцільно застосовувати тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку

(6.8)

Ітераційні методи Кохрена-Оркатта і Дарбіна можна застосовувати для оцінки параметрів економетричної моделі й тоді, коли залишки описуються авторегресійною моделлю вищого порядку:

(6.9)

Метод оцінювання параметрів Ейткена

Оператор оцінювання УМНК можна записати так:

(6.10)

або

(6.11)

де – матриця, обернена до дисперсійно-коваріаційної матриці залишків ;

– матриця, обернена до матриці .

Оскільки в  коваріація залишків при S > 2, то матриця матиме вигляд

(6.12)

На практиці для розрахунку  використовується співвідношення

(6.13)

або

(6.14)

Метод Кохрена–Оркатта

Метод Кохрена-Оркатта є ітераційним методом наближеного пошуку оцінок параметрів моделі з автокорельованими залишками, який базується на МНК.

Алгоритм методу Кохрена-Оркатта реалізується в декілька етапів.

Крок 1. Вихідне регресійне рівняння (1) оцінюється традиційним методом найменших квадратів: (2).

Крок 2. На основі вихідного (1) та оціненого (2) рівнянь регресії розраховують залишки моделі: , де .

Крок 3. На третьому етапі розраховується вибірковий автокореляційний коефіцієнт першого порядку по формулі:

(6.15)

Даний коефіцієнт дозволяє оцінити авто регресійну залежність залишків: , де .

Крок 4. Будується перетворене рівняння регресії. Початкове регресійне рівняння в попередній момент часу (t–1) визначалося як: (3). Якщо регресійне рівняння в момент часу (t–1) помножити на величину ρ і вирахувати його з регресійного рівняння (1), то отримаємо перетворене рівняння з врахуванням автокореляції першого порядку:

(6.16)

Скориставшись методом замін приведемо рівняння до виду

(6.17)

де ;

;

.

Крок 5. Оцінки невідомих коефіцієнтів перетвореного рівняння регресії розраховуються традиційним методом найменших квадратів:

(6.18)

Далі визначаються оцінки коефіцієнтів регресії початкового рівняння наступним чином:

. (6.19)

Кінцеве регресійне рівняння можна записати так:

(6.20)

Крок 6. На останньому етапі знову розраховуються регресійні залишки u_i між вихідним (1) і перетвореним оціненим (6.20) рівняннями регресії, і процес повторюється з третього етапу.

Зазначимо, що наведений метод завжди забезпечує:

• знаходження глобального оптимуму;

• порівняно добру збіжність.

Самостійна робота № 6 – Методи оцінювання параметрів економетричних моделей з автокорельованими залишками

Метод перетворення вхідної інформації [3, с.223-226]. Метод Дарбіна [3, с.229-230].