8.5 Помилки вимірювання змінних

Раніше ми припускали, що змінні вимірюються без помилок, і лише відхилення u – це єдина припустима форма помилок. Останнє було пов’язане з наміром врахувати вплив різних пояснювальних змінних, які не входять до економетричної моделі в явному вигляді.

Проте досить часто при вимірюванні змінних, які належать до економетричної моделі, припускаються помилок. Тоді постає запитання, як наявність помилок змінних може вплинути на оцінку параметрів моделі?

Щоб відповісти на це запитання, розглянемо матрицю незалежних змінних X, елементи якої містять помилки.

Нехай

, (8.4)

де – матриця розміром nm справжніх (фактичних) значень;

V – матриця помилок вимірювання.

Тоді модель має вигляд

(8.5)

або

(8.6)

Оцінка параметрів для цієї моделі 1МНК матиме вигляд

, (8.7)

де – величина зміщення оцінки.

Обгрунтованість цієї оцінки залежить від того, чи дорівнює нулю

. (8.8)

Запишемо

(8.9)

За припущення, що залишки и не корелюють гранично зі змінними X (як зі справжніми значеннями, так і з їх помилками), можна стверджувати таке:

(8.10)

Проте

(8.11)

Отже, навіть тоді, коли помилки вимірювання змінних X не корелюють зі справжніми значеннями цих змінних і перший доданок у правій частині дорівнює нулю, другий доданок, який характеризує матрицю коваріацій помилок, здебільшого не дорівнює нулю. А це означає, що за наявності помилок вимірювання змінних оцінка параметрів моделей 1МНК є необгрунтованою і асимпотичне зміщення визначається формулою

(8.12)

Наприклад, якщо ми оцінюємо параметри моделі з двома змінними 1МНК, то зміщення

(8.13)

або

, (8.14)

де – дисперсія помилки вимірювання X,

– дисперсія справжніх значень X, причому припускаємо, що помилки вимірювання не корелюють із ціми значеннями X.

Рівняння (8.14) показує, що оцінка справжнього значення параметра моделі занижена. Наприклад, як би ми не збільшували сукупність спостережень, якщо від , то оцінка параметра відрізнятиметься від справжнього значення також майже на 10%, тобто за наявності помилок вимірювання змінних збільшення сукупності спостережень не компенсує зміщення.

Тому при оцінюванні параметрів економетричної моделі, коли трапляються помилки вимірювання змінних, доцільно застосувати метод інструментальних змінних, який ми розглянули раніше.

Самостійна робота № 8 – Оцінка параметрів моделі за допомогою алгоритма Уоліса.

Алгоритм Уоліса [3, c.280-292].

Лекція 9.Економетричні моделі динаміки

Методи моделювання часових рядів. Перевірка гіпотези про існування тренда. Моделювання тенденції часового ряду: згладжування та аналітичне вирівнювання. Моделювання сезонних та циклічних коливань.

9.1 Методи моделювання часових рядів

Можна побудувати економетричну модель, використовуючи два типи вихідних даних: дані, що характеризують сукупність різних об'єктів у конкретний момент часу; дані, що характеризують один об'єкт за ряд послідовних моментів часу.

Моделі, побудовані за даними першого типу, називають просторовими моделями.

Моделі, побудовані за даними другого типу, називають моделями часових рядів.

Часовий ряд – це сукупність значень будь-якого показника за декілька послідовних моментів або періодів часу.

Кожний рівень часового ряду формується під впливом великої кількості факторів, які умовно можна поділити на три групи:

• фактори, які формують тенденцію ряду;

• фактори, які формують циклічні коливання ряду;

• випадкові фактори.

Розглянемо вплив кожного фактору на часовий ряд окремо.

Більшість тимчасових рядів економічних показників мають тенденцію, що характеризує сукупний довгостроковий вплив безлічі факторів на динаміку показника, що вивчається. Всі ці фактори, взяті окремо, можуть надавати різноспрямований вплив на досліджуваний показник. Однак у сукупності вони формують його зростаючу або убуваючу тенденцію. На рисунку 9.1 показаний гіпотетичний часовий ряд, що містить зростаючу тенденцію (тренд).

Рисунок 9.1 – Часовий ряд, що має зростаючу тенденцію

Також досліджуваний показник може бути підданий циклічним коливанням. Ці коливання можуть носити сезонний характер, оскільки економічна діяльність низки галузей економіки залежить від пори року (наприклад, ціни на сільськогосподарську продукцію в літній період вище, ніж у зимовий; рівень безробіття в курортних містах у зимовий період вище в порівнянні з літнім). При наявності великих масивів даних за тривалі проміжки часу можна виявити циклічні коливання, пов'язані із загальною динамікою кон'юнктури ринку. На рисунку 9.2 представлено гіпотетичний часовий ряд, який містить лише сезонну компоненту.

Рисунок 9.2 – Часовий ряд, що має лише сезонну компоненту

Деякі часові ряди не містять тренду і циклічної компоненти, а кожен наступний їх рівень утворюється як сума середнього рівня ряду і деякої (позитивної чи негативної) випадкової компоненти. Приклад ряду, який містить тільки випадкову компоненту, наведено на рисунку 9.3.

Рисунок 9.3 – Часовий ряд, що має лише випадкову компоненту

Очевидно, що реальні дані не підходять цілком і повністю до будь-якої з описаних вище моделей. Частіше за все вони містять всі три компоненти. Кожен їх рівень формується під впливом тренду, сезонних коливань і випадкової компоненти.

Модель, у якій часовий ряд подається як сума трендової, циклічної і випадкової компоненти, називають адитивною моделлю часового ряду.

Модель, у якій часовий ряд подається як добуток вказаних компонентів, називають мультиплікативною моделлю часу.

Залежно від характеру досліджуваних соціально-економічних показників часові ряди поділяють на моментальні, інтервальні та похідні.

Часові ряди, утворені показниками, що характеризують економічне явище на певні моменти часу, називають моментальними.

Таблиця 9.1 – Моментальний часовий ряд

Дата надання позички	01.10	05.10	12.10	23.10	03.11	07.11
Розмір позички, тис. гр.одн.	3747	3710	3839	3783	3747	3710

Якщо рівні часового ряду утворюються шляхом агрегування за певний проміжок (інтервал) часу, такі ряди називають інтервальними часовими рядами; приклад наведено в таблиці 9.2.

Таблиця 9.2 – Інтервальний часовий ряд

Місяць	Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень
Валовий внутрішній продукт, млн. грн.	6578	7016	7353	7353	7941

Часові ряди можуть бути створені як із абсолютних значень економічних показників, так і з середніх або відносних величин — це похідні ряди; приклад такого ряду наведено в таблиці 9.3.

Таблиця 9.3 – Часовий ряд, утворений із середніх значень показника

Місяць	Січень	Лютий	Березень	Квітень	Травень
Середня зарплата загалом, грн./міс.	152,2	153,7	165,8	161,0	163,71

Головна задача економетричного дослідження окремого часового ряду -виявлення і надання кількісного вираження кожній із указаних компонентів для того, щоб використати одержану інформацію для прогнозування майбутніх значень ряду або для побудови моделей взаємозв'язку двох чи більше часових рядів.

Якщо ряд динаміки характеризує зміну одного показника, то його називають одномірним, двох і більше багатомірним. Останні бувають двох видів: паралельні ряди та ряди взаємозв'язаних показників.

Паралельні характеризують динаміку або одного показника щодо різних об'єктів, або різних показників щодо одного об'єкта. Зв'язок між показниками багатомірного динамічного ряду може бути функціональним або кореляційним.

Для аналізу соціально-економічних показників абсолютні рівні моментальних або інтервальних часових рядів, а також рівні середніх величин часто доводиться перетворювати на відносні величини. Найпоширеніші характеристики динаміки розвитку соціально-економічних процесів та їхні розрахунки наведено в таблиці 9.4.

Таблиця 9.4 – Характеристики динаміки часового ряду

Характеристики	Розрахункові формули
Абсолютний приріст
Коефіцієнт зростання
Коефіцієнт приросту
Темп зростання
Темп приросту
Середня арифметична
Середня хронологічна
Середній абсолютний приріст
Середній темп зростання
Середній темп приросту

Для визначення змін, що відбуваються з досліджуваним явищем, передусім обчислюють швидкість розвитку цього явища за часом. Показником швидкості слугує абсолютний приріст, який характеризує величину зміни показника за інтервал часу між порівнюваними періодами й обчислюються за формулою:

, (9.1)

де y_t – i-й рівень часового ряду ( );

k – індекс початкового рівня, може бути обраний будь-яким залежно від мети дослідження: за k = 1 отриммують ланцюгові показники, за k = і – 1 отримують базові показники із початковим рівнем ряду тощо.

Точніше швидкість зміни показника описує приріст за одиницб часу, ця величина має назву середнього абсолютного приросту.

. (9.2)

Для визначення відносної швидкості зміни економічного явища за одиницю часу використовують наступні показники: коефіцієнт зростання й приросту (якщо ці показники виражені у відсотках, їх називають відповідно темпами зростання й приросту). Зазначимо, що в усіх наступних формулах індекс початкового рівня, стосовно якого здійснюють порівняння, також визначають за допомогою індексу k, як і раніше для показника абсолютного приросту.

Коефіцієнт зростання для і-го періоду обчислюють за формулою:

(9.3)

, якщо рівень підвищується, , якщо рівень зменшується, за рівень не змінюється.

Коефіцієнт приросту дорівнює:

. (9.4)

На практиці часто застосовують показники темпу зростання й темпу приросту:

(9.5)

(9.6)

Темп приросту показує, на скільки відсотків рівень одного періоду збільшився стосовно рівня іншого періоду, тобто цей показник характеризує відносну величину приросту у відсотках.

Порівняння абсолютного приросту та темпу приросту за той самий інтервал часу показує, що в реальних економічних процесах уповільнення темпу приросту часто не супроводжується зменшенням абсолютних приростів.

Середню швидкість зміни показника, що вивчається, за певний період характеризує також середній темп зростання. Його розраховують за формулою середньої геометричної:

(9.7)

Відповідно середній темп приросту визначають як:

(9.8)

Показник середнього темпу зростання, обчислюваний за формулою середньої геометричної (9.7), має суттєві недоліки, оскільки ґрунтується на зіставленні останнього та початкового рівнів часового ряду, проміжні рівні до уваги не беруться. У разі суттєвого коливання рівнів використання середнього геометричного темпу зростання для статистичного аналізу може призвести до серйозних помилок, внаслідок чого реальна тенденція часового ряду буде викривлена.

Якщо тенденція часового ряду не змінюється, використовують характеристику середнього рівня ряду. В інтервальному ряду динаміки з однаково розташованими в часі рівнями середній рівень обчислюють за формулою простої середньої арифметичної:

. (9.9)

Якщо інтервальний ряд має неоднаково розташовані в часі рівні, то середній рівень ряду (так звану середню хронологічну) обчислюють за формулою зваженої арифметичної середньої, де вагою є тривалість часу (наприклад, кількість років), упродовж якого рівень постійний:

. (9.10)