7.7 Рекурсивні системи одночасних рівнянь, їх характеристика, можливість застосування мнк-оцінки для розрахунку параметрів рекурсивних систем

Одним із випадків успішного застосування МНК для оцінювання структурних коефіцієнтів моделі є рекурсивні (трикутні) моделі, у яких ендогенні змінні послідовно (рекурсивно) пов’язані одна з одною. Перша ендогенна змінна Y₁ залежить лише від екзогенних змінних X_i, i = 1, 2, ..., m, і випадкового відхилення u₁. Друга ендогенна змінна Y₂ визначається лише значеннями екзогенних змінних X_i, i=1, 2, ..., m, випадковим відхиленням u₂, а також ендогенною змінною Y₁. Третя ендогенна змінна Y₃ залежить від тих самих змінних, що і Y₂, випадкового відхилення u₃, а також від попередніх ендогенних змінних (Y₁, Y₂) і т.д.

У цих моделях структурні рівняння оцінюються поетапно . Застосовуючи МНК для таких моделей, можна отримати незміщені та обґрунтовані оцінки.

Однак моделі даного типу трапляються досить рідко. У загальному випадку для оцінки структурних коефіцієнтів спочатку необхідно перетворити вихідні рівняння до зведеної форми, а потім застосовувати звичайний МНК.

7.8 Прогноз і загальні довірчі інтервали

Точковий прогноз залежних змінних визначається на підставі зведеної (прогнозної) форми економетричної моделі, заданої системою одночасних рівнянь.

Визначення довірчих інтервалів для цього прогнозу залежить від способу, яким було отримано зведену форму моделі.

У загальному випадку довірчі інтервали для кожної ендогенної змінної задаються співвідношенням

, (7.20)

де – табличне значення критерію Фішера з довірчим рівнем α при ступенях свободи (r – кількість рівнянь системи, n – загальна кількість спостережень, k – кількість екзогенних змінних і-го рівняння системи);

– дисперсія залишків і-го рівняння моделі.

Довірчі інтервали для всіх ендогенних змінних визначають за формулами

(7.21)

де X_j – матриця спостережень k екзогенних змінних, що ввійшли в i-те рівняння системи, розміром nk;

X – загальна матриця спостережень розміром nr;

r – загальна кількість рівнянь системи.

Самостійна робота № 7 – Застосування систем економетричних рівнянь

Статична модель Кейнса для опису народного господарства країни [9, c.204-207]. Динамічна модель економіки Клейна [9, c.208-212].

Лекція 8.Методи ІнструментальнИх зміннИх

Анотація

Сутність методу інструментальних змінних. Оператор оцінювання Вальда. Особливості оцінювання методом Бартлета. Оператор оцінювання Дарбіна.

8.1 Сутність методу інструментальних змінних

Існують випадки, коли залежна змінна ( ) економетричної моделі залежить не тільки від пояснюючих змінних , але й від свого попереднього значення – . У таких випадках порушується третя передумова для застосування методу 1МНК при оцінці параметрів моделі, тобто пояснюючі змінні корелюють із залишками ( ). В цьому випадку вони стають стохастичними змінними.

Зважаючи, що впливає на , а – на , то й впливає на навіть тоді, коли послідовні значення залишків є незалежними.

Якщо в цьому випадку оцінки параметрів моделі визначатимуться на основі методу 1МНК, то вони будуть необгрунтованими. Зауважимо, що навіть якщо лише один елемент вектора , ми маємо змогу отримати всі елементи вектора (всі оцінки моделі) необгрунтованими.

Другою причиною, яка може призвести до порушення третьої передумови, коли , є наявність помилок у вихідній інформації.

Одним із способів усунення корелювання пояснюючої змінної з випадковим відхиленням є метод інструментальних змінних.

Сутність цього методу полягає в заміні змінної, що корелює із залишками, інструментальною змінною (ІЗ), яка повинна мати такі властивості:

• корелювати (бажано значною мірою) із заміненою пояснюючою змінною;

• не корелювати з випадковим відхиленням.

Оператор оцінювання для методу інструментальних змінних запишеться так:

(8.1)

де Z – матриця інструментальних змінних;

Z^T – матриця, транспонована до матриці Z;

X – матриця пояснюючих змінних;

Y – вектор залежної змінної.

Розглядаючи способи визначення інструментальних змінних, скористаємося найпростішими економетричними моделями, які використовувались в різних операторах оцінок.