9.4 Моделювання сезонних та циклічних коливань

Адитивна модель часового ряду припускає, що кожний рівень ряду може бути поданий як сума трендової (Т), сезонної (S) і випадкової (Е) компонент:

(9.13)

Загальний вигляд мультиплікативної моделі має такий вигляд:

(9.14)

Ця модель припускає, що кожний рівень ряду є добуток трендової , сезонної і випадкової компонент.

У залежності від структури сезонних коливань вибирається та чи інша модель. Якщо амплітуда сезонних коливань є приблизно сталою, тоді будують адитивну модель часового ряду. Якщо амплітуда сезонних коливань зростає або спадає, будують мультиплікативну модель.

Побудова адитивної чи мультиплікативної моделі зводиться до розрахунку значень T, S і E для кожного рівня ряду.

Алгоритм побудови моделі складається з таких кроків:

1. Вирівнювання початкового ряду методом ковзної середньої.

2. Розрахунок значень сезонної компоненти S.

3. Виключення сезонної компоненти з початкових рівнів ряду.

4. Аналітичне вирівнювання рівнів (T+S) або (T·S) і розрахунок значень T з використанням одержаного рівняння тренда.

5. Розрахунок одержаних за моделлю значень (T+S) або (T·S).

6. Розрахунок абсолютних або відносних похибок. Якщо отримані значення помилок не містять автокореляції, ними можна замінити вихідні рівні ряду і надалі використовувати часовий ряд помилок для аналізу взаємозв'язку вихідного ряду та інших тимчасових рядів.

Самостійна робота № 9 – Моделювання сезонних і циклічних коливань

Адитивна та мультиплікативна моделі часового ряду [9, c.239-240]. Приклад побудови адитивної моделі часового ряду [9, c.240-245]. Приклад побудови мультиплікативної моделі часового ряду [9, c.245-252]. Побудова моделі регресії часового ряду з фіктивними змінними [9, c.252-255].

Лекція 10.Моделі розподіленого лагу

Поняття лагу і лагових змінних. Моделі розподіленого лагу. Взаємна кореляційна функція. Оцінка параметрів моделей з лагами в незалежних змінних: метод послідовного збільшення кількості лагів, перетворення Койка (метод геометричної прогресії). Виявлення автокореляції залишків в авторегресійних моделях. Авторегресійне перетворення. Перетворення методом ковзного середнього. Перетворення ARMA і ARIMA.

10.1 Поняття лагу і лагових змінних

Для багатьох економічних процесів типово, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий час або протягом деякого часу. Таке явище називається запізнюванням (затримкою), а проміжок часу, у який спостерігається це запізнювання, – часовим лагом, або просто лагом.

Наприклад, функція споживання після різкої зміни доходу також змінюється, але не пропорційно до доходу Зокрема, зі збільшенням доходу витрати значно зростають (задовольняються нагальні потреби), а потім можуть зменшуватися за рахунок збільшення інвестицій (плануються великі витрати і зростають нагромадження, а споживання зменшується). Вкладання коштів у наукові дослідження не одразу впливає на зростання продуктивності праці – має пройти певний час від виникнення наукової ідеї до її впровадження у виробництво. Капітальне будівництво також не дає миттєвих прибутків і т. ін.

Моделі, у яких досліджуваний показник у момент часу t визначається не лише поточними, а й попередніми значеннями незалежних змінних, називаються дистрибутивно-лаговими:

. (10.1)

Моделі, у яких досліджуваний показник у момент часу t визначається своїми попередніми значеннями, називаються авторегресійними або динамічними моделями. Наприклад,

. (10.2)

Змінні і у період t- називаються лаговими змінними, а величина  – періодом зсуву (лагом).

Якщо в економетричній моделі незалежні змінні використовують за кілька попередніх періодів, то такі моделі називають моделями з кінцевим лагом (скінченними моделями). Якщо вплив незалежної змінної не обмежується певним періодом, розглядають нескінченні лагові моделі.

Звичайно, нескінченна лагова модель більш загальна, однак прак­тичне застосування такої моделі досить проблематичне через велику кількість факторів, складність внутрішньої структури та обмеженість часових рядів – інформаційної бази моделей.

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами лагу, а послідовність – структурою лагу.

Коефіцієнт a₀ при незалежній змінній х_t, що відбиває її вплив на залежну змінну в поточний період, називається короткостроковим, або впливовим, мультиплікатором. Часткові суми коефіцієнтів що відображають зміну y_t в другий, третій і наступні періоди, називаються проміжними інтервалами. Загальна сума лагових коефіцієнтів для всієї моделі називається довгостроковим, або загальним, дистрибутивно-лаговим мультиплікатором.

Остання сума для скінченних моделей, очевидно, є скінченним числом. Для нескінченної моделі лагові коефіцієнти за певних умов також можуть утворити скінченну суму Якщо кожен із коефіцієнтів розділити на їх суму отримаємо відповідно нормовані коефіцієнти лага та нормовану структуру лага.

Усі нормовані коефіцієнти менші від одиниці, а їх сума дорівнює одиниці.