7.5 Двокроковий метод найменших квадратів оцінювання параметрів надідентифікованих систем одночасних рівнянь (2мнк-оцінка)
Опис двокрокового методу найменших квадратів (2МНК) супроводимо прикладом його використання для моделі рівноваги на ринках товарів і грошей (IS-LM) для закритої економіки при фіксованій податковій ставці t.
(7.16)
Перше рівняння системи є перевизначеним (щодо змінної r). Щоб оцінити його коефіцієнти, рекомендується скористатися двокроковим методом найменших квадратів, суть якого полягає у використанні як інструментальної змінної оцінки перевизначеної змінної, отриманої на базі екзогенних (чи заздалегідь визначених) змінних моделі.
Крок 1.
У першому рівнянні цієї системи перевизначеною змінною є процентна ставка r. Її можна оцінити, спираючись лише на екзогенні змінні (наприклад, віднімаючи від другого співвідношення перше):
(7.17)
Застосовуючи для
(7.17) МНК, отримуємо оцінку
змінної r:
(7.18)
де – умовна середня при фіксованих значеннях M, G, t.
Крок 2.
Підставляючи оцінку (7.18) у друге рівняння системи (7.16), маємо
(7.19)
Ця заміна дає змогу розв’язати таку істотну проблему перевизначених моделей, як корельованість пояснюючої змінної з випадковим членом (нагадаємо, що така корельованість призводить до отримання зміщених і необґрунтованих оцінок). Дійсно, оцінка виражається лише через екзогенні змінні, а отже, не корелює з випадковим відхиленням. Фактично її можна розглядати як нову екзогенну змінну.
Замінивши в моделі (7.16) друге рівняння на (7.19), отримаємо систему, яку можна оцінити за допомогою МНК.
Якщо модель містить більш як одну перевизначену змінну на першому етапі необхідно оцінити всі такі змінні.
2МНК має певні властивості, що зумовлюють його широке практичне застосування.
1. У даному методі перший етап (етап побудови зведених рівнянь) виконується для частини перевизначених рівнянь, не зачіпаючи інші рівняння моделі. Це дає змогу мінімізувати обсяг обчислень.
2. За наявності перевизначених рівнянь 2МНК на відміну від МНК визначає єдині оцінки параметрів моделі.
3. Застосовуючи даний метод, достатньо використовувати лише екзогенні й визначені змінні моделі.
4. Застосування 2МНК ефективне лише в тому разі, якщо коефіцієнт детермінації R2 для зведених рівнянь, побудованих на першому етапі, буде досить великий. При цьому інструментальна змінна (у нашому прикладі це змінна незначною мірою корелює з випадковим відхиленням і наближається до істинного значення ( ) заміненої змінної. При невеликому значенні R2 використання 2МНК малопродуктивне, тому що в цьому разі інструментальна змінна мало відповідає істинному значенню заміненої змінної.
Зазначимо, що за допомогою методу інструментальних змінних як складової 2МНК можна отримувати обґрунтовані оцінки й оцінки стандартних відхилень для вибірок великих обсягів. Однак для малих вибірок висновки будуть не настільки конкретними.
7.6 Трикроковий метод найменших квадратів
Розглянуті методи дають змогу оцінювати параметри окремих рівнянь системи. Кожен з них має переваги та недоліки, однак їх об’єднує спільна риса – значний обсяг розрахунків при роботі із системами великої розмірності, тобто із такими, що містять велику кількість рівнянь, а отже, велику кількість змінних і параметрів. Скорочення обсягу розрахунків стає особливо актуальним у процесі вивчення швидкоплинних процесів, а також у тому разі, якщо змінюється пріоритетність окремих незалежних змінних моделі. У цих випадках краще скористатися методом, що одночасно оцінює параметри всіх рівнянь системи, зокрема трикроковим методом найменших квадратів (3МНК).
Особливістю 3МНК є те, що при оцінюванні параметрів системи загалом слід зважати на залежності між окремими рівняннями. Ці залежності виявляються в тому що залишки окремих рівнянь корелюють між собою, тобто загальна матриця коваріацій системи є недіагональною. У такій ситуації найкращим методом оцінювання є узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена). Однак у цьому разі необхідно знати перше наближення матриці коваріацій. Для рівнянь множинної регресії з автокорельованими залишками цю матрицю отримують на підставі залишків моделі, параметри якої оцінено за звичайним МНК, і вже після обчислення коефіцієнта кореляції коригують загальний оператор оцінювання параметрів рівняння.
Для систем рівнянь, особливо в разі надідентифікованості окремих рівнянь, краще початкове наближення матриці коваріацій визначають за залишками, які отримано в результаті оцінювання параметрів рівнянь за двокроковим МНК. Отже, саме поєднання 2МНК і методу Ейткена дало назву цьому методу.
Для практичного застосування 3МНК потрібно виконати такі вимоги:
1) усі тотожності, які входять до системи рівнянь, виключають з розгляду, тому що вони не містять невідомих параметрів і не параметризуються;
2) кожне неідентифіковане рівняння також виключають із системи, оскільки оцінити їх параметри в принципі неможливо;
3) точно ідентифіковані та надідентифіковані рівняння поділяють на дві різні групи і 3МНК застосовують до кожної з них окремо;
4) якщо група надідентифікованих рівнянь складається лише з одного рівняння, то 3МНК перетворюється на 2МНК;
5) кореляція залишків окремих рівнянь системи призводить до того, що загальна матриця коваріацій системи є недіагональною, однак водночас не між усіма рівняннями системи існує залежність, тому матриця коваріації часто буває блочно-діагональною, тоді оцінювання параметрів на основі 3МНК виконують окремо для кожної групи рівнянь, що відповідають одному блоку.