2.2 Передумови застосування методу найменших квадратів (1мнк)

Оцінювати параметри економетричної моделі за допомогою одно крокового (звичайного) методу найменших квадратів (1 МНК) можна за умов:

1) математичне сподівання залишків, тобто середня величина випадкових значень, дорівнює нулю

(2.4)

Якщо ця передумова не виконуєть, то йдеться про помилки специфікації.

Специфікацією моделі називають її аналітичну форму, яка складається з певного виду вибраної функції чи системи функцій для змінних. До помилок специфікації приводять:

• відсутність у моделі основної пояснювальної (незалежної) змінної, що призводить до зміщення оцінок параметрів і може привести до хибних висновків щодо значень параметрів;

• введення в модель пояснювальної змінної, яка не є істотною для вимірювального зв’язку, що може привести до неправильного встановленого кількісного зв’язку між змінними;

• використання невідповідних аналітичних форм вибраних функцій для моделі, що як і при першій помилці специфікації може привести до зміщення оцінок параметрів моделі.

2) значення u_i в матриці залишків u незалежні між собою і мають постійну дисперсію σ²:

(2.5)

де Е – одинична матриця;

u' – матриця, транспонована до матриці u.

Дисперсія відображає «розсіювання» випадкових значень u_i навколо їх математичного сподівання.

Наявність сталої (постійної) дисперсії залишків називається гомоскедастичністю. Ця властивість може виконуватись лише тоді, коли залишки u є помилками вимірювання.

3) незалежні змінні моделі не пов’язані із залишками:

(2.6)

При порушенні цієї умови для оцінювання параметрів моделі використовують не 1 МНК, а інші методи.

4) незалежні змінні моделі утворюють незалежну систему векторів, тобто ці змінні незалежні між собою:

(2.7)

Якщо незалежні змінні пов’язані між собою, то це явище називають мультиколінеарністю і воно є небажаним, так як робить оцінку параметрів за допомогою 1 МНК ненадійною чутливою до вибраної специфікації моделі.

2.3 Оператор оцінювання 1мнк

Нехай за вибіркою (х_і, y_і), і = 1,2,…, n, потрібно визначити оцінки â₀ і â₁ емпіричного рівняння регресії (2.3), тобто підібрати такі значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

У цьому разі є квадратичною функцією двох параметрів â₀ і â₁ , оскільки х_і, у_і (і = 1,2,…,n) – відомі дані спостережень:

(2.8)

Неважко помітити, що квадратична функція Q неперервна, опукла та обмежена знизу (Q ≥ 0), тобто має мінімум.

Необхідною умовою існування мінімуму неперервно диференційованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних:

; (2.9)

(2.10)

Поділивши обидва рівняння системи (2.10) на n, отримаємо

. (2.11)

Тут .

Отже, згідно з МНК оцінки параметрів â₀ і â₁ визначаються за формулами (2.11).

Неважко помітити, що â₁ можна обчислити за формулою

, (2.12)

де – вибірковий кореляційний момент випадкових величин Х і Y;

– вибіркова дисперсія Х;

– стандартне відхилення Х.

Тоді

, (2.13)

де r_xy – вибірковий коефіцієнт кореляції;

S_y – стандартне відхилення Y.

Отже коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнти пропорційності використовують для зіставлення різних величин Х і Y.

Таким чином, якщо коефіцієнт кореляції r_xy уже розрахований, то за формулою (2.13) неважко знайти коефіцієнт â₁ парної регресії.

Приклад. Для аналізу залежності обсягу споживання Y (у.о.) домогосподарства від наявного прибутку Х (у.о.) обрано вибірку обсягу n = 12 (щомісячно впродовж року), результати якої наведені в таблиці 2.1. Необхідно визначити вид залежності; за МНК оцінити параметри рівняння регресії Y; оцінити силу лінійної залежності між Х і Y; а також спрогнозувати споживання при прибутку Х = 160.

Таблиця 2.1 – Вхідні дані

і	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
хі	107	109	110	113	120	122	123	128	136	140	145	150
уі	102	105	108	110	115	117	119	125	132	130	141	144

Для визначення виду залежності побудуємо кореляційне поле (рис. 2.3)

Рисунок 2.3

За розміщенням точок на кореляційному полі припускаємо, що залежність між Х і Y лінійна: ; â₀ , â₁ – оцінки невідомих параметрів моделі.

Для наочності розрахунків за МНК складемо таблицю 2.2.

Згідно з МНК маємо

Отже, рівняння парної лінійної регресії має вигляд . Зобразимо цю пряму регресії на кореляційному полі. За наведеним рівнянням розрахуємо ŷ_і , а також u_i = y_i – ŷ_і.

Таблиця 2.2 – Допоміжні розрахунки

і	хі	yi	хі2	хіуі	уі2	ŷі	еі	еі2
1	107	102	11449	10914	10404	103,63	-1,63	2,64
2	109	105	11881	11445	11025	105,49	-0,49	0,24
3	110	108	12100	11880	11664	106,43	1,57	2,47
4	113	110	12769	12430	12100	109,23	0,77	0,59
5	120	115	14400	13800	13225	115,77	-0,77	0,59
6	122	117	14884	14274	13689	117,63	-0,63	0,40
7	123	119	15129	14637	14161	118,57	0,43	0,19
8	128	125	16384	16000	15625	123,24	1,76	3,10
9	136	132	18496	17952	17424	130,71	1,29	1,67
10	140	130	19600	18200	16900	134,45	-4,44	19,76
11	145	141	21025	20445	19881	139,11	1,89	3,56
12	150	144	22500	21600	20736	143,78	0,22	0,05
Сума	1503	1448	190617	183577	176834		≈ 0	35,26
Середнє	125,25	120,67	15884,75	15298,08	14736,17

Для аналізу сили лінійної залежності обчислимо коефіцієнт кореляції:

Отримане значення коефіцієнта кореляції дає змогу зробити висновок про сильну (пряму) лінійну залежність між змінними Х і Y. Це також підтверджується розміщенням точок на кореляційному полі.

Прогнозоване споживання при доступному доході Х = 160 за даною моделлю становить ŷ(160) ≈ 153,12.