Задача 15. Расчет функциональной точности аппроксимацией зависимости между выходной характеристикой и влияющими факторами методом наименьших квадратов

Отклонение выходного параметра изделия в условиях эксплуатации определяется погрешностью каждого влияющего фактора, элемента, значениями коэффициентов влияния, характером распределения погрешностей.

Для нахождения математического выражения, описывающего зависимость выходного параметра от входящих, удобно использовать метод наименьших(наименьших) квадратов.

Расчет заключается в нахождении функции , значения которой при как можно меньше отличаются от экспериментально полученных значений .

Как известно, наиболее универсальным выражением для аппроксимации различных зависимостей является полином вида

. (3.23)

Параметры полинома должны быть подобраны таким образом, чтобы

, (3.24)

где - число экспериментальных результатов , была минимальной, т.е. частные производные по параметрам должны быть равны 0

(3.25)

…………………………………………………….

.

Значения неизвестных параметров вычисляют следующим образом:

1. По опытным данным составляют условные уравнения

(3.26)

……………………………

.

Число экспериментальных значений должно быть больше числа неизвестных .

2. Составляют нормальные уравнения.

Для этого последовательно умножают каждое условное уравнение на коэффициент при неизвестном параметре, складывают условные уравнения:

- коэффициент при параметре , поэтому первое нормальное уравнение будет иметь вид

; (3.27)

- коэффициент при равен , поэтому второе нормальное уравнение имеет вид

; (3.28)

- коэффициент при равен , поэтому третье нормальное уравнение имеет вид

.(3.29)

Всего нормальных уравнений будет столько, сколько искомых параметров.

3. Решают нормальные уравнения, находят параметры , и получают аппроксимирующее выражение

. (3.30)

4. По найденному выражению определяют значения для экспериментальных значений .

5. Находят разность между экспериментальными значениями и рассчитанными значениями .

6. Находят поправки на параметры путем составления новых условных уравнений

(3.31)

…………………………….

и решения нормальных уравнений, которые получают при умножении последовательно каждого условного уравнения на множители при поправках и при их сложении:

- при умножении на множитель при

; (3.32)

- при умножении на множитель при

; (3.33)

- при умножении на множитель при

.(3.34)

и т.д.

Поправки находят при решении системы полученных нормальных уравнений.

7. Находят значения искомых параметров аппроксимирующей функции с учетом поправок

(3.35)

………..

.

При этом функция будет иметь вид

. (3.36)

8. Проверяют полученное выражение расчетом среднеквадратического значения погрешности отклонения опытных значений от расчетных .

При этом должно соблюдаться неравенство

(3.37)

где - число условных уравнений (число экспериментальных значений ); - число определяемых параметров.

Могут иметь место частные случаи аппроксимации функциональных параметров.

Степенная функция вида

(3.38)

при - встречается, например, при резком изменении выходного параметра от эксплуатационного фактора. Для определения коэффициентов и также используется метод наименьших квадратов с приведением уравнения к линейному при помощи логарифмирования

. (3.39)

По аналогии с предыдущей задачей определяются нормальные уравнения

(3.40)

где - число экспериментальных данных.

Экспоненциальная функция

(3.41)

встречается, например, при описании зависимости температурных деформаций режущего инструмента во времени, при описании сенсорных зависимостей, характеристик надежности (таких, как вероятность безотказной работы).

В этом случае целесообразно находить не минимальные суммы квадратов отклонений, а минимальные суммы квадратов отклонений логарифмов этих функций

, (3.42)

т.е.

. (3.43)

Система нормальных уравнений будет иметь вид ;

. (3.44)

Пример 15. При износе втулки подшипника скольжения шириной 40мм в пяти сечениях были получены величины зазора в сопряжении, приведенные в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Значения зазора в сопряжении на различных расстояниях измеряемого сечения от торца детали

Расстояние от торца до сечения, в котором измерялся зазор, мм	Зазор в сопряжении вал-втулка, , мкм
2	3
10	5
20	8
30	15
40	18

Среднеквадратическая погрешность метода измерений зазора . Необходимо установить закономерность изменения зазора в сопряжении по ширине втулки.

Решение:

Полученные значения изображены на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Графическое изображение экспериментальных результатов

Согласно графику искомая зависимость близка к полиному 1-го порядка

.

1. Составим условные уравнения (3.26)

2. Составим нормальные уравнения (3.27 и 3.28)

3. Из двух нормальных уравнений находим коэффициенты

4. Рассчитываем значения для значений

;

;

5. Находим разность между экспериментальными значениями и рассчитанными значениями .

.

6. Составляем систему условных уравнений (3.31) для нахождения поправок

Составляем систему нормальных уравнений (3.32 и 3.33)

7. Находим параметры аппроксимирующего выражения с учетом поправок (3.35)

т.е. аппроксимирующее выражение (3.36) будет иметь вид

8. Рассчитываем среднеквадратическую погрешность отклонения результатов (3.37)

что находится в пределах допустимой погрешности измерения.

Индивидуальные задания к задаче 15.

Вариант 15.1. Методом наименьших квадратов необходимо установить зависимость между верхним и нижним диаметром заготовки для ролика видеомагнитофона. Результаты измерений приведены в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Размеры заготовок ролика видеомагнитофона

Верхний диаметр, мм	6,96	6,95	6,92	6,98	7,08
Нижний диаметр, мм	6,98	7,00	6,99	7,01	7,09

Вариант 15.2. При градуировке измерительного прибора с линейной градуировочной зависимостью получены числовые значения, приведенные в табл. 3.4. Найти методом наименьших квадратов аналитическое выражение градуировочной характеристики.

Таблица 3.4

Параметры градуировочной характеристики прибора

Qi	41… 50	81… 104	120… 139	154… 180	208… 241	250… 269	301
xi	4… 8	10… 14	15… 20	19… 23	26… 30	31… 36	37…